Irreduzible Polynome 2 [KAB]

14.04.2011, 13:10

tigerbine

Irreduzible Polynome 2 [KAB]

Zitat:

Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})[x] \end{eqnarray*}$ . Ja/nein

Da ist erst mal die Frage, was ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Erweiterungskörper von Q? [Da bin ich nämlich noch nicht ..] Augenzwinkern

14.04.2011, 13:19

tmo

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Ja es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$ .

Bei der Aufgabe beachte man, dass ein Polynom dritten Gerades ja genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle hat.

14.04.2011, 15:03

tigerbine

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Über C zerfällt es Linearfaktoren. Keiner davon - und einer müßte es ja mindestens sein - wird aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$ annuliert. Daher ist das Polynom dort irreduzibel.

Vielleicht meintest aber: Angenommen es wäre reduzibel <=> es gibt mind. eine Nullstelle

Dann gibt es a,b aus Q mit

$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2})^2 -3 = a^2+2ab\sqrt{2} + 2b^2 -3 = (a^2+2b^2-3) + 2ab\sqrt{2} \stackrel{!} =0 \end{eqnarray*}$

Damit müßte entweder a oder b gleich 0 sein. Was dann bedeuten würde, dass $\begin{eqnarray*} 2b^2-3=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^2-3=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Die haben in Q aber keine Lösung [darf man das einfach sagen...]

14.04.2011, 15:11

tmo

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Beide Ansätze sind möglich.

Beim ersten kannst du ja direkt sagen, dass die beiden komplexen Nullstellen (man muss sie ja noch nicht mal kennen) definitiv nicht in deinem Körper sind.

Aber zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3} \notin \mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ kann man dann nochmal ein Wort verlieren. Allerdings wird dich das dann letztendlich genau auf deinen 2ten Ansatz führen.

Da solltest du allerdings noch verbessern, dass du mit 3 potenzierst und nicht quadrierst. Aber vom Prinzip her geht es so natürlich.

14.04.2011, 15:13

tigerbine

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Stimmt, da habe ich die falsche Potenz genommen. Forum Kloppe

Danke.

15.04.2011, 18:22

juergen007

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Die besere Frage wäre
Ist Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{3}) \end{eqnarray*}$
Nein.

Jedoch zerfällt $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ nicht völlig in $\begin{eqnarray*} \mathbb L = \mathbb Q(\sqrt[3]{3}) \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb L \end{eqnarray*}$ keine normale Körpererweiterung on $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

16.04.2011, 14:05

tigerbine

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Was heißt die bessere Frage? Die Frage ist so wie oben angegeben gestellt worden ...

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