Funktionen als Verkettung

14.04.2011, 14:06

sarosis

Funktionen als Verkettung

Meine Frage:
Hallo,

meine Aufgabe ist wei folgt gestellt:

Gegeben seien die Funktionen f und g durch die Funktionsterme f(x) und g(x). Geben Sie jeweils
die Verkettungen f g deren maximalen Difinitionsbereich an.

a)
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{4}{5}x^{3}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = 1-x^{4} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So und nun meine Überlegung.
Erstmal den Deffintionsbereich.
Für a,c,d müsste das $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein und für b $\begin{eqnarray*} \mathbb R \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das richtig verstehe muß ich für g(x) keinen Difinitionsbereich angeben, da es ja die Werte aus f(x) sind. (gibts da eine Schreibweise für?).

a)
$\begin{eqnarray*} f(g(x)=1- 2(\frac{4}{5} *x^{3}-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

So...
bevor ich nun die anderen zeige ist das soweit richtig?
Ich verstehe Verkettung so, dass ich die Funktionswerte aus f(x) in g(x) einfüge. Also könnte ich auch schreiben.

$\begin{eqnarray*} f(2) = 1-2*2=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(-3) = \frac{4}{5}(-3)^{3}-\frac{1}{2}=-\frac{221}{10} \end{eqnarray*}$

Aber da passt nun was nicht, weill wenn ich 2 in die (von mir gezeigte) Verkettung einfüge bekomme ich nicht das gleiche Ergebnis.

Danke schonmal für die hilfe.

14.04.2011, 14:17

klarsoweit

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RE: Funktionen als Verkettung

Zitat:

Original von sarosis
Erstmal den Deffintionsbereich.
Für a,c,d müsste das $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein und für b $\begin{eqnarray*} \mathbb R \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also für b und c solltest du nochmal drüber nachdenken.

Zitat:

Original von sarosis
Ich verstehe Verkettung so, dass ich die Funktionswerte aus f(x) in g(x) einfüge.

Bei f(g(x)) werden die Funktionswerte von g(x) in f(x) eingefügt. Deswegen ist in deinem Beispiel

Zitat:

Original von sarosis
$\begin{eqnarray*} f(2) = 1-2*2=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(-3) = \frac{4}{5}(-3)^{3}-\frac{1}{2}=-\frac{221}{10} \end{eqnarray*}$

die Reihenfolge vertauscht.

14.04.2011, 14:36

sarosis

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Ist den die Verkettung von a soweit richtig?

Ich nehme an, dass ich den Deffinitionsbereich für die verkettete Funktion angeben muß daher wäre das meiner Meinung nach:

a)
R

b)
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=\sqrt{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Damit wäre der Diffinitionsbereich auch R

c)
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=\cos(\sqrt{x+1} ) \end{eqnarray*}$
Deffinitionsbereich ist R grössergleich -1

d)
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=\sin(1-x^{4} ) \end{eqnarray*}$
Deffinitionsbereich ist auch R

Ist das soweit richtig?

P.s.: Sry für den doppel-thread...war keien Absicht

14.04.2011, 15:13

klarsoweit

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Das ist jetzt alles ok (auch Teil a). Natürlich nur, wenn die Verkettung "f angewendet auf g" lautet.

14.04.2011, 15:16

sarosis

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Vielen dank für die Hilfe.

Gruß
Saro

14.04.2011, 15:49

sarosis

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Hej.

ich weiß nicht ob das hier üblich ist, aber kann mal einer schnell drüberschauen ob da ein Fehler ist:

Gegeben sei die Funktion h durch einen Funktionsterm h(x). Schreiben Sie h als nicht-triviale Verkettung zweier Funktionen f und g.

(Die erste Zeile ist gegeben:

a)
$\begin{eqnarray*} h(x)=2(x+2)^3+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x+2 \end{eqnarray*}$
h(x)=f(g(x))

b)
$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{5}{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^{2}+1 \end{eqnarray*}$
h(x)=f(g(x))

c)
$\begin{eqnarray*} h(x)=4\sqrt{x^{5}-1 } -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=4x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x^{5} -1} \end{eqnarray*}$
h(x)=f(g(x))

d)
$\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$
h(x)=f(g(x))

Ich denke das ist soweit richtig nur bin ich durch das "nicht-triviale" in der Aufgabenstellung verwirrt. Vorallem d) ist recht trivial.

Danke
Saro