Reihe einer Primzahlpotenz

05.12.2006, 16:40

Klose

Reihe einer Primzahlpotenz

Nach ein paar Umformungen bin ich bei folgendem Problem gelandet:

Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^i~p^k \in \mathbb P \end{eqnarray*}$ (also eine Primzahl, p ist eine Primzahl) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow i+1 \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl.

Kurzes testen ging gut, aber wie beweise ich das?

Danke für Tipps!

05.12.2006, 19:11

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Zunächst etwas Logik:

Die Aussage $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ .

Konkret bei dir bedeutet die rechte Implikation die zu beweisende Aussage

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} i+1 \end{eqnarray*}$ ist keine Primzahl, dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^i~p^k \end{eqnarray*}$ ebenfalls keine Primzahl.

Und der Beweis ist nicht schwer.

05.12.2006, 22:24

Klose

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Das ist schon mal nicht schlecht, aber hilft mir nicht sonderlich weiter.

Ich kann die geometrische Reihe ja aufschreiben als:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^i~p^k = \frac{p^{i+1}-1}{p-1} = \frac{p^{a*b}-1}{p-1} \end{eqnarray*}$ mit i+1=a*b (zusammengesetzt). Und wie sehe ich da jetzt, das es einen nichttrivialen Teiler gibt?

Das $\begin{eqnarray*} p^{a*b}-1 \end{eqnarray*}$ erinnert mich an eine Mersenne Primzahl für p=2 und dann würde ja folgen, das a*b prim sein müsste. Aber hier teilt man ja auch noch durch (p-1).

05.12.2006, 22:28

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Keine Idee für eine Zerlegung? Na dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{ab}-1}{p-1} = \frac{p^{ab}-1}{p^a-1} \cdot \frac{p^{a}-1}{p-1} \end{eqnarray*}$

Die Voraussetzung "p ist Primzahl" ist übrigens überflüssig, die Aussage gilt für beliebige ganze Zahlen p>1.

05.12.2006, 22:36

Klose

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Aaah wunderbar. Klar sind die nichttrivial, und dass das auch natürliche Zahlen sind kann ich ganz einfach zeigen indem ich sie wieder als geometrische Reihe darstelle.

Danke vielmals!

07.12.2006, 18:56

akechi90

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Hm, hatten wirs nicht einmal eine Woche lang mit einem ähnlichen Problem hier im Forum? Augenzwinkern

EDIT:
Kann man denn die Frage nicht einfacher lösen, indem man die Zahl in einem Zahlensystem zur Basis p aufschreibt, dann hat man nämlich Ketten von lauter Einsen.
Und wenn die Länge der Kette einen Teiler hat, hat auch die Zahl nen Teiler. Also muss die Länge der Kette, wenn die Zahl selbst eine Primzahl ist, auch eine Primzahl sein.

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