Bestimmung von Funktionstermen

14.04.2011, 16:42

DerMatheFreak

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Bestimmung von Funktionstermen

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f von Grad 3, die durch die gegebenen Punkte geht.
Sind die Aufstellungen der Gleichungen bisher richtig?

$\begin{eqnarray*} <br /> A(0/1);B(1/0);C(-1/4);D(2/5)<br /> <br /> f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d<br /> \end{eqnarray*}$
Bedingungen

$\begin{eqnarray*} <br /> f(0)=1<br /> f(1)=0<br /> f(-1)=4<br /> f(2)=-5<br /> \end{eqnarray*}$
Punkte einsetzen
$\begin{eqnarray*} <br /> 1=a(0)^{3}+b(0)^{2}+c(0)+d<br /> 1=d<br /> <br /> 0=a(1)^{3}+b(1)^{2}+c(1)+1<br /> -c-b-1=a<br /> <br /> 4=a(-c-b-1)^{3}+b(-1)^{2}+c(-1)+1<br /> 4=c^{4}+b^{4}+4cb+3c+5b+2<br /> \end{eqnarray*}$

Bei dieser Gleichung bin ich selber skeptisch, was meint ihr?

$\begin{eqnarray*} <br /> -5=a(2)^{3}+b(2)^{2}+c(2)+1<br /> -5=8a+4b+2c+1<br /> -6=8a+4b+2c <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 16:48

Equester

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Ist es D(2/5) oder D(2/-5)?

Der erste Schritt ist richtig. d=1

f(1) ist auch richtig umgesetzt.

Doch bei f(-1) hakts. Warum ersetzt du (-1)³ durch (-c-b-1)³?

Das Einsetzungsverfahren ist hier zwar nicht falsch, kann aber sehr kompliziert
(da große Terme auftreten) werden.
Wie siehts mit deinen Fähigkeiten im Umgang mit einem LGS aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

14.04.2011, 16:54

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Equester
Warum ersetzt du (-1)³ durch (-c-b-1)³?

Das Einsetzungsverfahren ist hier zwar nicht falsch, kann aber sehr kompliziert
(da große Terme auftreten) werden.

Weil ich nicht in der Lage bin mit einem LGS umzugehen unglücklich

unglücklich

Beim Gaus Jordan fand ich mich damals permanent in Zwickmühlen wie beim Additions- und Subtraktionsverfahren.

14.04.2011, 17:04

Equester

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Wie gesagt, das andere is für mich (und viele andere) einfacher.
Du aber bist du selbst. Was dir liegt, musst du wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sieht deine korrigerte f(-1) Version aus?

14.04.2011, 17:05

DerMatheFreak

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gut habe, nochmal die Gleichungen aufgestellt, ohne diese komplizierten Terme zu multiplizieren.
Was ist nun zu tun? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} <br /> -1=a+b+c<br /> 3=-a+b-c<br /> -6=8a+4b+2c<br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 17:17

Equester

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Findet meine Zustimmung Freude

Freude

Wie weiter? Nah versuchs selbst mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich sag dann ob ich damit einverstanden bin Teufel

Teufel

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14.04.2011, 17:36

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> -1=a+b+c<br /> 3=-a+b+c <br /> -6=8a+4b+2c | : 8<br /> <br /> -1=a+b+c<br /> 3=-a+b+c <br /> -\frac{3}{4}=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}c<br /> <br /> <br /> -\frac{5}{4}=a+\frac{3}{2}b+\frac{9}{4}c<br /> <br /> <br /> -\frac{5}{4}-\frac{3}{2}b-\frac{9}{4}c=a |*4<br /> -5-6b-9c=\frac{a}{4}<br /> <br /> -5-6b-9c=a^{-4}<br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

traurig

traurig

14.04.2011, 17:40

Equester

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Die letzten drei Zeilen konnte ich leider nicht mitverfolgen. Wo hast du denn was eingesetzt?

Beim ersten und zweiten Block hat sich ein Fehler eingeschlichen. In der jeweils zweiten
Zeile heißt es -a+b-c, du hast +c.

Löse doch das erste nach a auf. Setze un II und III ein. Dann löse II nach b auf.
Setze das in III ein. Dann noch auflösen. Erinnere dich aber an meine Worte,
dass man sich hier leicht verzetteln kann :P

14.04.2011, 17:52

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Equester

Löse doch das erste nach a auf. Setze un II und III ein.

etwa so?
$\begin{eqnarray*} <br /> -b-c-1=a<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 17:56

Equester

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Genau. Setze das nun in die zweite (korrigierte) Zeile ein.

14.04.2011, 18:02

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> 3=-(-b-c-1)+b-c<br /> 3=-2c -1<br /> 2=-2c<br /> -2=2c<br /> -1=c<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

was ergibt $\begin{eqnarray*} -(-b-c-1) \end{eqnarray*}$ ??
Und im übrigen, was ergibt bitte $\begin{eqnarray*} -1 -b \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 18:09

Equester

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Nein, das ist falsch aufgelöst.
Widmen wir uns erst deiner ersten Frage, welche hier wichtig ist.
Was ergibt $\begin{eqnarray*} -(-b-c-1) \end{eqnarray*}$ . Ich kanns dir gerne umschreiben.
$\begin{eqnarray*} (-1)(-b-c-1)=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1-b \end{eqnarray*}$ ist nicht weiter vereinfachbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das passt so.

14.04.2011, 18:13

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> 3=-(-b-c-1)+b-c<br /> 3=2b+1<br /> 2=2b<br /> 1=b<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 18:17

Equester

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Dein Glück, dass c rausfällt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt kannst du d und b bei der III. Gleichung direkt ersetzen. a hast du ja von oben,
welches nun auch in der III. Gleichung ersetzt wird. Mach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Löse nach c auf.

14.04.2011, 18:21

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> -6=8a+4b+2c<br /> -6=8a+4(1)+2(-1)<br /> -6=8a+2<br /> -8=8a<br /> -1=a<br /> <br /> f(x)=-x^{3}+x^{2}-x+1<br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Danke, aber es hat sich eine weitere Frage eingeschlichen Wink

Wink

darf ich eigentlich auch

z.b
bei 3 Gleichungen
$\begin{eqnarray*} <br /> 0=9a+3b+c<br /> 0=4a+2b+c<br /> 0=-a+b-c<br /> \end{eqnarray*}$

die 3 und die 2 als erstes zusammenzählen und anschließend mit der 1 addieren ?

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=9a+3b+c | <br /> 0=3a+3b || und |||<br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 18:27

Equester

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Die Aufgabe ist richtig gelöst Freude

Freude

Ja, so wie du das machst geht das. Allerdings bleiben es immer 3 Gleichungen!
Du hast II+III gemacht. Damit hast du eine neue Gleichung IIa. Die III bleibt wie
sie ist! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann kannst du weiter machen und I-IIa (oder so) Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 18:43

DerMatheFreak

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Kannst du mir bitte sagen wieso ich beim Einsetzungsverfahren immer auf null komme? Habe die beiden Gleichungen miteinander subtrahiert um nach c aufzulösen.

Und ist die Vorgehensweise richtig`?

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=9a+3b+c <br /> 0=3a+3b <br /> <br /> 0=6a-c<br /> c=6a<br /> <br /> <br /> 0=9a+3b+3(6a)<br /> 0=9a+3b+18a<br /> 0=27a+3b<br /> -27a=3b<br /> -9a=b<br /> <br /> 0=9a+3(-9a)+(6a)<br /> 0=-12a |:-12 <br /> 0=a<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 18:48

Equester

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Schaut bisher richtig aus. Auch wenn du die Gleichung III. weggelassen hast.
Die hätte ich gerne immer dabei!

a=b=c=0 ist die Lösung. Du hast wohl schon die Informationen falsch
interpretiert?

14.04.2011, 18:55

DerMatheFreak

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In welcher Gleichung setzt man den ersten Parameter den man aufgelöst hat in in der Regel ein?

Nun Informationen waren nur

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 3, die die angegebene Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ hat und durch die Punkte A B und C verläuft

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> X_{0}=3; A(0|2);B(2|2);C(-1|2)<br /> <br /> f(3)=0<br /> f(0)=2<br /> f(2)=2<br /> f(-1)=2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 19:00

Equester

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In welche Gleichung du einsetzt ist egal. Alle sind ja gleichwertig vom Informationsgehalt.
Manchmal ists aber einfach, wenn man ne bestimmte nimmt. Wenn man ein
Auge dafür hat, kann man sich Arbeit sparen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sehen, dann deine Gleichungen aus? Warum hattest du überall ne 0 auf der einen Seite?

14.04.2011, 19:19

DerMatheFreak

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Ich habe grad den Fehler gefunden. Jedoch bin ich wieder bei einer anderen Aufgabe, wobei ich keine Fehler erkennen kann

$\begin{eqnarray*} <br /> P_{1} (0|3); P_{2} (1|0); P_{3} (3|0)<br /> <br /> f(x)=ax^{2}+bx+c<br /> <br /> 3=a(0)^{2}+b(0)+c<br /> 3=c<br /> <br /> 0=a(1)^{2}+b(1)+3<br /> -3=a+b<br /> <br /> -3=a(3)^{2}+b(3)+3<br /> 0-3=9a+3b+3 <br /> -3=9a+3b |:3<br /> 1=3a+b <br /> -1-3a=b<br /> \end{eqnarray*}$

Einsetzen in || Geichung

$\begin{eqnarray*} <br /> -3=a+(-1-3a)<br /> -2=-2a|:-2<br /> 1=a<br /> <br /> b=-1-3(1)<br /> b=-4<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 19:22

Equester

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Im größten Absatz:

Links steht ne -3 die dann verschwindet (also es steht dann ne 0).
Verbessere das und es passt Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 19:27

DerMatheFreak

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Danke habe nochmal mit Geogebra die Parabel nachkontrolliert und sie passt Gott

Gott

Nun, möchte aber den Scheitelpunkt rechnerisch nachkontrollieren mithilfe der ersten Ableitung
Graphisch hat die Parabel den Scheitelpunkt c(2|-1)
aber ich komme beim Y-wert auf eine 9 verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=x^{2}-4x+3<br /> f'(x)=2x-4<br /> f'(x)=0<br /> -2x=-4<br /> x=2<br /> <br /> <br /> f(2)=(2)^{2}-4(2)+3<br /> =9<br /> \end{eqnarray*}$
traurig

traurig

14.04.2011, 19:29

Equester

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Alles richtig. Nur rechne die letzte Zeile nochmals sauber aus. Auch diese stimmt...bis
aufs Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 19:31

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> f(2)=(2)^{2}-4(2)+3<br /> =-1<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt, statt die 4 mit der 2 zu multiplizieren habe ich die 4 quadriert Hammer

Hammer

Ich danke dir für deine Hilfe Gott

Gott

Braucht man überhaupt die Quadratische Ergänzung, wenn man den Scheitelpunkt mit der ersten Ableitung bestimmen kann? Wobei ich nun zu gerne wissen würde wie man dann den Vorfaktor berechnet ?

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= a(x-2)^{2}-1<br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 19:40

Equester

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Setze doch einen Punkt ein. Dann hast du nur noch eine Unbekannte -> a Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber es ist kein überraschendes Ergebnis.

Gerne smile

smile

14.04.2011, 19:48

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= a(x-2)^{2}-1<br /> f(4)=3<br /> 3=a(4-2)^{2}-1<br /> 3=a+4-1<br /> 0=a<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wieso ist das Ergebnis nicht überraschend?

Braucht man die quadratische Ergänzung überhaupt noch wenn man weiß, wie man die Scheitelpunktform durch die 1. Ableitung bestimmen kann?

14.04.2011, 22:19

Equester

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Sry, wurde abgelenkt.

Es heit 4*a und nicht 4+a -> Dann haste a=1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 23:50

DerMatheFreak

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Also hat a in der allgemeinen Form den gleichen Wert wie in der Scheitelpunktform? verwirrt

verwirrt

15.04.2011, 16:52

Equester

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Yup ich denk das hört sich gut an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

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