Schwieriger Grenzwert

14.04.2011, 16:48

Hanni90

Schwieriger Grenzwert

Meine Frage:
Hallo,
ich versuche gerade die Richtungsableitung einer Funktion zu bestimmen und komme an einem Grenzwert nicht weiter. Der übrig bleibende Term lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{3} }{t}*(\sqrt[3]{1-\sqrt(3)}-1)<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das schon versucht in alle Richtungen umzustellen oder auch die Reihe 1/n einzusetzten für n-> unendlich. Ohne Erfolg. Wolfram Alpha sagt es käme -1 raus. Warum?

14.04.2011, 16:55

tmo

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Irgendwas stimmt da nicht. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{1-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ ist gar nicht definiert.

14.04.2011, 17:01

René Gruber

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Zitat:

Original von Hanni90
Wolfram Alpha sagt es käme -1 raus. Warum?

In dem Fall folgern wir mal, dass du eigentlich den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{3}}{t} \cdot \left( \sqrt[3]{1-\sqrt{3}\,t}-1\right) \end{eqnarray*}$

meinst.

14.04.2011, 17:05

wfgöpnq

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Ja den meint er

bin in der gleichen lerngruppe

14.04.2011, 17:09

tmo

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Dann sollte man den Ausdruck in der Klammer unter Ausnutzung von $\begin{eqnarray*} x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ umformen. Dann wird man auch die $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ -Situation los.

14.04.2011, 17:15

Leopold

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Oder man erkennt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{1 - \sqrt{3} \, t} - 1}{t} \end{eqnarray*}$

als Differenzenquotient der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(t) = \sqrt[3]{1 - \sqrt{3} \, t} \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2011, 00:02

Hanni90

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Wie ich x^3 - 1 geegnet nutzen kann habe ich nicht verstanden, mit dem Tipp des Differentialquotienten erhalte ich jedoch nach einsetzten der Ableitung die gewünschte -1.

Vielen Dank

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