Stetigkeit einer Funktion

05.12.2006, 17:21

SilverBullet

Stetigkeit einer Funktion

Hallo ich hab ein Problem den Beweis dieser Aufgabe zu verstehen.

Aufgabe :
Die Funktion f : (0,1) -> IR sei definiert durch :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac {1} {q}, & \text{mit } p,q \in \mathbb N \text { teilerfremd und } q \neq 0\\ 0, & \text{falls x irrational }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie : f ist in jedem irrationalen Punkt $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ stetig

Beweis :

Zitat:

Sei eine irrationale Zahl $\begin{eqnarray*} a \in ]0,1] \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Es ist zu seigen, dass ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(a) \mid = f(x) < \epsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]0,1] \text{mit} \mid x - a \mid < \delta \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} s \geq 1 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl mit $\begin{eqnarray*} \frac {1} {s} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei Ms die folgende (endliche) Menge aller rationalen Zahlen

$\begin{eqnarray*} M_s = \{ \frac {m} {n} : m,n \in \mathbb N mit\ 1 \leq m \leq n \leq s \} \end{eqnarray*}$

DA a irrational ist, ist

$\begin{eqnarray*} \delta := min \{ \mid y - a \mid : y \in M_s \} > 0. \end{eqnarray*}$

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in ]0,1] mit\ \mid x - a \mid < \delta \end{eqnarray*}$ gilt jetzt f(x) = 0, falls x irrational ist, oder $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1} {q} \end{eqnarray*}$ mit q > s, falls x rational ist. Daher ist

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(a) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Puh war echt arbeit das hier rein zu schreiben ^^
Gut nun der Beweis wurde ja mit dem Epsilon-Delta Kriterium durchgeführt.
Was mir eigentlich noch nicht ganz klar ist, ist warum delta
$\begin{eqnarray*} \delta := min \{ \mid y - a \mid : y \in M_s \} > 0. \end{eqnarray*}$
so definiert wurde ?

Wäre zwar megasuperklasse wenn den Beweis jmd in eigene Worte packen könnte aber der Grund für die Definition des Delta reicht auch ^^

Gruß
Silver

05.12.2006, 19:25

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Dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist genau die Entfernung zum "nächsten" rationalen Punkt $\begin{eqnarray*} x^* = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ , dessen Nenner $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ klein genug für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Und diesen Punkt gilt es natürlich zu vermeiden, mit in die Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufzunehmen, da der ja zu $\begin{eqnarray*} |f(x^*)-f(a)| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ führen würde, das wollen wir natürlich nicht.

Klingt sicher immer noch kompliziert, aber viel besser kann ich es nicht erklären. Augenzwinkern

05.12.2006, 20:24

SilverBullet

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Jupp klingt kompliziert aber ich glaub ich hab verstanden was dahinter steckt.
Ich glaub jedoch ich hab das noch nicht richtig drauf.

Es heißt weiter : Zeige es ist in keinem rationalen Punkt stetig.

Puh klappt das auch mit dem Delta-Epsilon-Kriterium ?
Oder kann ich das auch irgendwie auf einem einfachen Wege beweisen ?
Also das ich z.b. sage ich komme mit einer irrationalen Zahl ja beliebig nah an eine beliebige rationale Zahl ran und somit kann kein rationaler Punkt stetig sein. verwirrt

Klingt irgendwie voll daneben ?
Kann mir da jmd helfen ?

05.12.2006, 20:50

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Das ist einfacher: In jeder noch so kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(r)=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ findet sich ein irrationaler Punkt, und dessen Funktionswert ist 0. Also findest du zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon =\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ kein entsprechendes $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ...

05.12.2006, 21:44

SilverBullet

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hui das ist ja echt einfacher als ich dachte... Hab mit einem mindestens genau so langem Beweis wie oben gerechnet

14.01.2007, 12:58

Valerius

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hei...ich hab genau die gleiche aufgabe, nur dass f bei mir nicht definiert ist durch: f : (0,1) -> IR, sondern durch: f: IR -> IR. allerdings kann ich diesen lösungsweg doch trotzdem benutzen oder? meiner meinung nach kann ich des fast genauso auf meinen fall anwenden. wäre nett wenn mir des jemand bestätigt oder mir sagt, warum ich falsch liege Augenzwinkern

danke, valerius

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