Nachweis Untermannigfaltigkeit

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14.04.2011, 20:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis Untermannigfaltigkeit Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:I\to \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ eine stetig differenzierbare Funktion auf dem offenen Intervall $\begin{eqnarray} I\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} M:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 : z\in I, x^2+y^2=f(z)^2\right\} \end{eqnarray}$ ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Per Charakterisierung einer Untermannigfaltigkeit per Parameterdarstellung. Behauptung: Die Karte $\begin{eqnarray} \Phi: I\times ]0,2\pi[\to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Phi(t,\alpha )=: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=f(t)\cdot \cos(\alpha), y=f(t)\cdot \sin(\alpha), z=t \end{eqnarray}$ stellt M dar (bis auf eine Nullmenge). Zu zeigen wäre doch jetzt noch, dass $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ ein Homöomorphismus ist, also bijektiv, stetig und dass die Umkehrabbildung auch steteig ist - Oder? Wäre dann alles gezeigt?
15.04.2011, 11:00	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht wieso du es so kompliziert machst. Betrachte $\begin{eqnarray} F: \mathbb R^2\times I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} (x,y,z)\mapsto x^2+y^2-f(z)^2 \end{eqnarray}$ . Es ist klar, dass $\begin{eqnarray} M=F^{-1}(\{0\}) \end{eqnarray}$ . Zeige also, dass das Differential von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ überall den Rang 1 hat. Zeige dazu, dass $\begin{eqnarray} (0,0,z) \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegt für alle $\begin{eqnarray} z\in I \end{eqnarray}$ .
15.04.2011, 15:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe diesen Weg mit der Parameterdarstellung genommen, weil ich später noch zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} vol_2(M)=2\pi \int_I f(t)\sqrt{1+f'(t)^2}dt \end{eqnarray}$ und dafür benötige ich meines Wissens sowieso eine Karte.
15.04.2011, 17:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dafür brauchst du eine Karte.
15.04.2011, 18:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und wenn ich dann sowieso eine Karte finden muss, dann kann ich sie auch gleich versuchen zu finden und dann das mit der Parameterdarstellung machen, um nachzuweisen, dass es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt. Also so wie oben: Sehe ich das korrekt? Zeigen muss ich jetzt allerdings dann immer noch, dass die von mir behauptete Karte auch wirkjlich ein Homöomorphismus ist. Korrekt?
15.04.2011, 18:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze Problem ist doch, dass das Bild von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ nicht die ganze UMF abdeckt, sondern nur bis auf eine Nullmenge. Bei der Integration ist das natürlich egal, aber nicht beim Nachweis, dass es eine globale Karte ist [was es ja dann auch nicht ist]. Du musst demnach zeigen dass es eine lokale Karte ist [was am Beweis aber nichts ändert].
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15.04.2011, 18:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also okay, lokale Karte. So ists korrekt, das stimmt. Stetigkeit: Naja, die partiellen Ableitungen existeiren und sind stetig, demnach müsste die Funktion schonmal stetig sein. Bleiben noch Bijektivität und dass die Umkehrabbildung stetig ist.
15.04.2011, 18:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die Injektivität ist trivial und surjektiv soll es per Definition sein [jede Abbildung ist natürlich surjektiv auf ihr eigenes Bild und nur das interessiert hier]. Bleibt also die Umkehrfunktion auszurechnen. Hier hilft die geometrische Anschauung.
16.04.2011, 11:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, versuche ich mal, die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \Phi^{-1}(u,v,w) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Das macht man, wenn ich mich recht erinnere, für jede "Einzelfunktion", also für $\begin{eqnarray} \Phi_1(t,\phi)=f(t)\cos(\phi), \Phi_2(t,\phi)=f(t)\sin(\phi), \Phi_3(t,\phi)=t \end{eqnarray}$ . Für die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \Phi^{-1}(u,v,w) \end{eqnarray}$ muss dann gelten $\begin{eqnarray} u=f(t)\cos(\phi) \end{eqnarray}$ [Das muss ich doch jetzt nach t umstellen - oder? Wie geht das?] $\begin{eqnarray} v=f(t)\cos(\phi) \end{eqnarray}$ [Das muss doch nach $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ umgestellt werden? Wie macht man das?] $\begin{eqnarray} w=t \end{eqnarray}$ Hier ist nichts umzustellen.
16.04.2011, 12:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Lös dich doch mal von dem formalen Wust und stell dir vor was geometrisch passiert. Du hast eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und diese "lebt über der" z-Achse zb in der x-z-Ebene [also dort kann man den Graphen sehen]. Dieser Graph rotiert nun um die z-Achse und bildet eine Fläche. Für die Parametrisierung wurde einfach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ umgetauft. Das gibt dir die "Höhe" eines Punktes $\begin{eqnarray} (x,y,z)\in M \end{eqnarray}$ über der x-y-Ebene. Bleibt noch der Winkel des Punktes gegen die x-Achse zu messen [gesehen als Punkt in der x-y-Ebene. Das wird mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ erledigt. Und hier erinnerst du dich nochmals an die Polarkoordinaten in der Ebene und den Zusammenhang den es gab aus den kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ Polarkoordinaten zu machen.
16.04.2011, 12:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, tut mir leid. Das kann ich mir so nicht vorstellen. Das Formale wäre mir lieber, wenn das geht. Ich muss es ja sowieso auf dem Papier konkret berechnen. Kannst Du vielleicht lieber meinem formalen Rechen-Ansatz folgen? Un mir da weiter helfen?
16.04.2011, 12:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann ich nicht. Ich wüsste auch nicht wie man das vernünftig analytisch auflösen könnte. Wie erwähnt, mach dir ein Bild und überlege dir was passiert. Wenn du einen Kandidaten für eine Umkehrfunktion gefunden hast, dann rechnest du schlicht nach dass es die passende Umkehrfunktion ist und alles ist gezeigt. Hier zb mal ein Bild mit $\begin{eqnarray} f(z)=z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\in[0.5,2] \end{eqnarray}$
17.04.2011, 10:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme das nicht hin, trotz Deiner Graphik und Mühe.
18.04.2011, 12:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Beweis für diese Aufgabe ist fast fertig. Es fehlt mir nur (immer) noch der Beweis dafür, dass die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \Phi^{-1} \end{eqnarray}$ stetig ist. system-agent hat schon geduldig versucht, mir zu erklären, dass man sich das auf graphischem Wege klar machen muss. Nur leider ist bei mir der Groschen noch nicht gefallen und ich weiß nicht, wie ich das zu Papier bringen kann. Vielleicht kann es mir jemand erklären, wie man hier die Umkehrfunktion bestimmt? Das wäre toll, dann wäre diese Aufgabe komplett.
18.04.2011, 19:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaube, so langsam fällt der Groschen. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen, muss ich einmal einen Winkel berechnen (von kartesischen Koordinaten nach Polarkordinaten, das hat glaube ich was mit dem arccos oder dem arctan zu tun) und den Abstand, das ist die Wurzel aus x und y zum Quadrat. Und da kommt was Stetiges heraus.
20.04.2011, 08:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und wie schon erwähnt, der Winkel ist dein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und der Abstand von der z-Achse wird durch den Funktionswert von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ festgelegt.

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