Urnenmodell mit mehreren Urnen |
| 14.04.2011, 20:41 | Domi123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Urnenmodell mit mehreren Urnen Hallo, Ich habe drei Urnen A, B und C. In Urne A sind Kugeln mit den Nummern: 1,...,n. Aus dieser Urne ziehe ich x mal. In Urne B sind Kugeln mit den Nummern 1,...,m<n und ich ziehe y mal aus Urne B. In Urne C sind m+1,...,n Kugeln und ich ziehe z mal aus Urne C. Es wird gezogen ohne zurücklegen und die Ziehung ist ungeordnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich die selbe Zahl mindestens zwei mal ziehe. Meine Ideen: Ein kleines Zahlenbeispiel veranschaulicht mein Problem: Urne A: Kugeln mit Nummern 1,2,3,4,5. Daraus wird ein Mal gezogen. Urne B: Kugeln mit Nummern 1,2,3. Daraus wird zwei Mal gezogen. Urne C: Kugeln mit Nummern 4,5. Daraus wird ein Mal gezogen. Die Zahl der Fälle insgesamt ist hier 30, in 18 Fällen kommt die selbe Zahl mindestens zwei mal vor. Die Wkt beträgt somit 18/30. Die Zahl der Fälle lässt sich schreiben als: (5 über 1) * (3 über 2) * (2 über 1)= 5*3*2=30. Allgemein ist das: (n über x) * (m über y) * ((n-m) über z). Was den Zähler anbelangt, d. h. die Zahl der Treffer fehlt mir jeglicher Ansatz. Ich bin für jede Hilfe dankbar. Gruß |
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| 14.04.2011, 21:44 | Bernadette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist wohl eher so gemeint: Wie gross ist die Wsk dass min. 2 mal die selbe Zahl gezogen wird. Im Prinzip kannst du die 2. und 3. Urne zu einer zusammenfassen die alle Nummern enthaelt und aus der du y+z mal ziehst. Zieh x mal aus der ersten. Damit ist festgelegt was im zweiten Durchgang an der 2. Urne nun als Erfolg gelten soll. Aus den n enthaltenen Kugeln sind folglich genau x Erfolge, dabei ist wegen der Symetrie in dem Problem voellig irrelevant welche genau das sind. Nun hast du eine hypergeometrische Verteilung ZV~H(y+z, x, n), wobei ZV die Anzahl der Nummern ist die zwei mal gezogen worden. Dann musst gelten P(ZV>=2) = 1 - P(ZV=0) - P(ZV=1) |
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| 14.04.2011, 23:22 | Domi123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Bernadette, meiner Meinung nach darf man Urne B und C nicht zu einer zusammenfassen, denn dann könnte es bei drei mal ziehen z. b. vorkommen, dass man 1, 4 und 5 zieht. Das darf aber nicht sein, da man aus Urne C entweder die 4 oder die 5 zieht. |
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| 15.04.2011, 02:59 | Bernadette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie schon gesagt, aufgrund der Symetrie des Problem spielt das keine Rolle. Was ist denn wenn 1, 4 und 5 gezogen werden kann? Dann ist der Fall wahrscheinlicher dass WENN aus der ersten Urne eine 4 oder 5 gezogen wurden diese noch mal kommt aber gleichzeitig wird der Fall unwahrscheinlicher, dass z.B. die 1 nocheinmal gezogen wird. Das von der ersten Urne 1 gezogen wird ist aber genauso wahrscheinlich wie alle anderen Nummern. Fertige dir mal ein Baumdiagramm an fuer einen noch einfacheren Fall. Urne 1: 1, 2, 3 - 1 mal ziehen; Urne 2: 1 - einmal ziehen; Urne 3: 2, 3 - ein mal ziehen. Es laesst sich leicht feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit die selbe Zahl zwei mal zu ziehen immer 2/3 ist, ob die letzten beiden Urnen nun zusammengefasst werden oder nicht. |
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| 15.04.2011, 10:34 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Urne B={1,2,3} Urne C ={4,5} Man muss hier also zwischen Urne B und Urne C schon unterscheiden |
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| 15.04.2011, 10:54 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2:1 gegen Bernadette - es wird Zeit, dass es zum Ausgleich kommt. 
Es stimmt, dass die Zahlen von 1...n unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen, in den Pool der aus B und C gezogenen (y+z) Kugeln zu gelangen. Aber, und das ist der entscheidende Punkt in Bernadettes Argumentation: Für jede solche einmal vorgenommene feste Auswahl dieser (y+z) Kugeln hat man jeweils die gleiche hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Übereinstimmungen mit Ziehung A! Es ist damit letztlich uninteressant, dass die B+C-Auswahl der (y+z)-Mengen aus {1,...,n} nicht gleichverteilt erfolgt, sie kann sogar sonstwie erfolgen, ohne dass das die genannte Verteilung beeinflusst.
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