stetige Funktion soll konstant sein

05.12.2006, 17:38

jaxxon

stetige Funktion soll konstant sein

Naben Leute Big Laugh

Hab hier ne Aufgabe bei der ich zunächst mal Hilfe zum Vorgehen bräuchte.

Aufgabe :

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Intervall und f : I -> R eine stetige Funktion die nur endlich viele Werte annimmt.
Zeige : f ist konstant.

Jo und nu weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll. Da wir den Zwischenwertsatz eingeführt haben dachte ich das es damit vielleicht klappt.
Meine Idee wäre :

Ich wähle a und b aus I mit $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a) \neq f(b) \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich wenn ich annehme, dass f nicht konstant ist so muss eine Nullstelle existieren. Wenn dann ein Widerspruch auftaucht habe ich ja gezeigt, dass f doch konstant ist.

Nun ist jedoch das Problem das nicht jede Funktion auch eine Nullstelle hat oder ?

Was meint ihr ? Kann ich das doch so machen ?

Meine andere Idee wäre das mit dem maximum und minimum im zu betrachtenden Intervall zu machen. Leider habe ich das nicht verstanden unglücklich

Über Hilfe wäre ich mehr als Dankbar

Greetz
Jaxx

05.12.2006, 18:39

therisen

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RE: stetige Funktion soll konstant sein

Zitat:

Original von jaxxon
Nun dachte ich wenn ich annehme, dass f nicht konstant ist so muss eine Nullstelle existieren.

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke es steckt folgende Idee hinter der Aufgabe: Angenommen, die Funktion wäre nicht konstant, dann gibt es $\begin{eqnarray*} a,b \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a)\neq f(b) \end{eqnarray*}$ . Mit der Stetigkeit von f lässt sich nun zeigen, dass die Funktion unendlich viele Werte zwischen $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ annimmt. Der ZWS dürfte schon ganz nützlich sein.

05.12.2006, 20:01

jaxxon

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Zitat:

Der ZWS dürfte schon ganz nützlich sein

Sorry aber das versteh ich nicht. Wir haben in der Vorlesung nur gezeigt, dass der Zwischenwertsatz eine Nullstelle berechnen kann und das ein Polynom mindestens eine Nullstelle hat wenn der Grad des Polynomes ungerade ist.

Wie kann ich denn dann den Zwischenwertsatz für die Aufgabe verwenden ?
Darf ich einfach Vorraussetzten, dass [latex] f(a) \leq 0 \leq f(b) ?

Kann es sein, dass der Schlüssel zu der Aufgabe ist das gesagt wird :
..f stetige Funktion die nur endlich viele Werte annimmt ?
Was soll das denn genau heißen ?

05.12.2006, 20:33

therisen

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Zitat:

Original von jaxxon
Sorry aber das versteh ich nicht. Wir haben in der Vorlesung nur gezeigt, dass der Zwischenwertsatz eine Nullstelle berechnen kann und das ein Polynom mindestens eine Nullstelle hat wenn der Grad des Polynomes ungerade ist.

Wie kann ich denn dann den Zwischenwertsatz für die Aufgabe verwenden ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz#Satz

Zitat:

Original von jaxxon
Darf ich einfach Vorraussetzten, dass $\begin{eqnarray*} f(a) \leq 0 \leq f(b) \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Du darfst aber o.B.d.A. voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} f(a) < f(b) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Kann es sein, dass der Schlüssel zu der Aufgabe ist das gesagt wird :
..f stetige Funktion die nur endlich viele Werte annimmt ?
Was soll das denn genau heißen ?

Richtig. Das soll heißen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} W = \{ f(x) ; ~ x\in I \} \end{eqnarray*}$ endlich ist.

06.12.2006, 12:21

SilverBullet

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Hm hab mir den ZWS mal genauer angeschaut jedoch bekomm ich es nicht hin allein mit dem Satz zu begründen das die Funkion halt unendlich viele Werte im Intervall annimmt.

Muss ich das mit Induktion machen und sagen wenn sie für 1/c einen wert annimmt dann auch für 1/(c+1) usw... ?

Hoffe es geht ohne Induktion traurig

06.12.2006, 14:10

jaxxon

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Also ich hab es ohne Induktion gemacht hab einfach gesagt das ein Punkt p existiert im Intervall [a,b] (folgt aus dem ZWS) und dann hab ich mir den neuen Intervall mit [a,p] angeschaut hier existiert nach dem ZWS wieder ein neues p´ usw... also nimmt die Funktion unendlich viele Werte an.
Und da das nicht sein kann ist sie konstant

06.12.2006, 14:27

Divergenz

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Hallo,

man kann das Problem auch ganz anders angehen. Mit Hilfe der Stetigkeit, kann man für jede Stelle $\begin{eqnarray*} x_0\in I \end{eqnarray*}$ zeigen, dass die Funktion in einer beliebig kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konstant ist, denn jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert hat konvergent Funktionswerte gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Da für die Funktionswerte nun nur endlich viele Zahlen in Frage kommen, müssen alle diese Funktionswertfolgen ab einem gewissen Punkt konstant sein (Stichwort $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Definition der Folgenkonvergenz). Also ist die Funktion schon mal stückweise konstant, wegen der Stetigkeitsdefinition sogar auf abgeschlossenen Teilstücken. Nun kann man Argument an den Intervallgrenzen wiederholen, und man erhält die Konstantheit auf ganz I.

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