Erste Ableitung nach x auflösen

14.04.2011, 23:14

DerMatheFreak

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Erste Ableitung nach x auflösen

Glücklicherweise ein Thema gefunden mit dem ich euch wiedereinmal belästigen kann Wink

Wink

Ich habe eine Funktion 4. Grades abgeleitet und möchte nun den Extremwert bestimmen, da muss ich nach x auflösen. Da der Exponent hoch 3 ist, habe ich i'(x) ausgeklammert. Nun, frage ich mich, wenn ich nun die PQ Formel verwende, würde ich da nicht die Nullstellen berechnen anstatt den X-Wert von dem Extrempunkt? Und könnte ich auch so ausklammern? $\begin{eqnarray*} x^{2}(2x-6x) \end{eqnarray*}$
Wenn ich ausklammere wie unten, erhalte ich ja eine Nullstelle, die den Wert 0 hat odeR? Wie sieht es aber aus wenn ich mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ ausklammere, erhalte ich dann 2 Nullstellen mit den Wert 0?

$\begin{eqnarray*} <br /> i'(x)=2x^{3}-6x<br /> i'(x)=0<br /> 0=2x^{3}-6x<br /> 0=x(2x^{2}-6x)<br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 23:22

opi

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Wenn Du x ausklammerst, mußt Du jeden Summanden durch x teilen. Dein Ergebnis zurückmultipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} 2x^3 -6x^2 \end{eqnarray*}$

Und das war nicht Teil der ursprünglichen Gleichung.

14.04.2011, 23:25

DerMatheFreak

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RE: Erste Ableitung nach x auflösen
$\begin{eqnarray*} <br /> i'(x)=2x^{3}-6x<br /> i'(x)=0<br /> 0=2x^{3}-6x<br /> 0=x(2x^{2}-6)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

14.04.2011, 23:31

opi

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Genau.

Zur Frage nach den Nullstellen: Du berechnest hier ja nicht die Nullstellen der Funktion sondern die Nullstellen der Ableitung, also die Stellen mit der Steigung Null.

So, nun geht es weiter:

$\begin{eqnarray*} 0 = x(2x^2 -6) \end{eqnarray*}$

ist ein Produkt. Du kannst jeden Faktor (also das x vor der Klammer und den Inhalt der Klammer) getrennt betrachten.

14.04.2011, 23:43

DerMatheFreak

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Okay, dankeschön Opi, wie es weiter geht mit der PQ Formel, weiß ich von hier aus selber Wink

Wink

14.04.2011, 23:46

DerMatheFreak

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Vielleicht doch noch 2 Fragen zum Abschluss

wie bestimme ich bitte die Wendetangente und anschließend die Normale?

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14.04.2011, 23:47

opi

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Bitte sehr, bedenke aber, daß Du keine pq-Formel brauchst! Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 23:50

opi

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Zur Wendetangente:

1) WP bestimmen
2) Steigung im WP ausrechnen
3) Alles in die Allgemeine Geradenform einsetzen.

14.04.2011, 23:56

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von opi
Bitte sehr, bedenke aber, daß Du keine pq-Formel brauchst! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jo, stimmt, ich habe ganz vergessen das ich auch die Wurzel für das x² ziehen kann.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Wendepunkte_{12} (\pm \sqrt{3}|\pm\frac{13}{2}) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich die Steigung der Wendetangente bestimmen?

15.04.2011, 00:03

opi

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geschockt

Für die Wendepunkte mußt Du die zweite Ableitung gleich Null setzen!

Und: Hast Du bei der Bestimmung der Extrempunkte auch an x=0 gedacht? verwirrt

verwirrt

15.04.2011, 00:08

DerMatheFreak

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Hallo Opa,

ich habe bereits die Wendepunkte berechnet und ebenfalls die Extremwerte auf Papiert, jedoch ist es mir zu mühsam das alles hiereinzuschreiben. Ich habe meine Ergebnisse schon mit Geogebra nachkontrolliert und es stimmt. Allerdings würde ich nun gerne wissen wie ich die Steigung der Wendetangente bestimmen kann. smile

smile

15.04.2011, 00:17

opi

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Ich heiße opi.

Die Steigung der Wendetangenten läßt sich am einfachsten mit den richtigen Wendestellen berechnen, Deine oben geschriebenen Wendepunkte stimmen nicht, egal was geogebra sagt.

15.04.2011, 00:21

DerMatheFreak

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RE: Erste Ableitung nach x auflösen
Die Ausgangsfunktion lautet
$\begin{eqnarray*} <br /> i(x)=\frac{1}{2}x^{4}-3x^{2}-2 \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 00:25

DerMatheFreak

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Stimmt sorry, habe gerade die Extremwerte einefügt Hammer

Hammer

sorry

hier sind die Wendepunkte

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Wendepunkte_{12} (\pm1|\pm\frac{9}{2}) \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 00:34

opi

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Zum Glück habe ich heute gute Laune...

Zunächst: Wie kommst Du auf einen Funktionswert von -4,5 ?
Wenn Du einen Taschenrechner benutzen solltest, mußt Du um den x-Wert und das Vorzeichen eine Klammer setzen.

Steigungen liefert uns die Erste Ableitung.

15.04.2011, 00:39

DerMatheFreak

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Ich habe den x Wert des Wendepunkts in die Ausgangsfunktion eingesetzt ung erhalte - 4,5

Zu der Wendetange: Ich muss also den X wert des Wendepunkts in dem Fall +-1 in die 1. Ableitung einsetzen?

15.04.2011, 00:46

opi

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Ich wollte vorhin fragen, woher der y-Wert +4,5 herkommt, ist mir leider nicht ganz gelungen. Big Laugh

Big Laugh

Zur Steigung der Wendetangente: Genau. X-Werte in die 1. Ableitung einsetzen und du bekommst die Steigungen der Tangenten.

15.04.2011, 00:52

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> f'(\pm1)=2(\pm1)^{3}-6(\pm1)<br /> 0=-4 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Und -4 ist dann die Steigung?

15.04.2011, 01:00

opi

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Du bekommst zwei Tangenten mit zwei verschiedenen Steigungen.

$\begin{eqnarray*} f'(-1) = 2(-1)^3 -6(-1) = +4 \end{eqnarray*}$

Verzichte bitte auf das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 01:02

DerMatheFreak

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Verstehe, habe mich vorhin wieder verhaspelt.

Wie bekomme ich nun den Y-Achsenabschnitt b der Wendetangenten raus?

y=m*x+b
y=4*x+b

15.04.2011, 01:11

opi

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Für diese Wendetangente (Achtung! Es gibt noch eine weitere mit einer anderen Steigung) kannst Du nun den Wendepunkt in die Geradengleichung einsetzen. Also den x-Wert von -1 für das x und den y-Wert von -4,5 für das y.

Das alles in y=4x + b und schon kannst Du b berechnen.

15.04.2011, 01:17

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> y=mx+b<br /> -4,5=4(1)+b <br /> -4,5=4+b<br /> -0,5=b<br /> <br /> -4,5=-4(-1)+b<br /> -4,5=-4+b<br /> -8,5=b<br /> <br /> <br /> y=4x-0,5<br /> g=-4x-8,5<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

So richtig? Wenn ja, wie bestimme ich zuletzt die Wendenormale?

15.04.2011, 01:23

opi

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Zum x-Wert von -1 gehörte die Steigung +4; zum x-Wert von +1 gehörte die Steigung -4.

Und: $\begin{eqnarray*} -4 \cdot (-1) = +4 \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 01:33

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> y=4x-0,5<br /> g=-4x-0,5<br /> \end{eqnarray*}$

wie bestimme ich zuletzt die Wendenormale?

15.04.2011, 01:42

opi

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Eine Normale schneidet seine Tangente im Rechten Winkel. Die Steigung der Normalen mal Steigung der Tangente muß -1 ergeben.

$\begin{eqnarray*} m_{t} \cdot m_{n} = -1 \end{eqnarray*}$

Du kannst also für $\begin{eqnarray*} m_t \end{eqnarray*}$ die Steigung der Tangente einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ auflösen. Danach wieder den Wendepunkt in die Geradengleichung einsetzen.

15.04.2011, 01:46

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} <br /> m_{t}*m_{n}=-1<br /> <br /> 4*m_{n}=-1<br /> <br /> m_{n}=-\frac{1}{4}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

damit hätte also eine Steigung einer Wendenormalen, wie bestimme ich aber nun die Wendenormalen Gleichung, wenn ich nur die Steigung bestimmt habe? Gott

Gott

15.04.2011, 01:54

opi

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Wendepunkt einsetzen.

$\begin{eqnarray*} -4,5= -0,25 \cdot (-1) +b \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 01:59

DerMatheFreak

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Gut, ich danke dir für deine Große Hilfe, Opi. Wink

Wink

, Ich gehe jetzt erstmal schlafen. Bis morgen.

15.04.2011, 02:00

opi

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Gute Nacht! Wink

Wink

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