Zeigen von bijektivität

15.04.2011, 00:08	Hoen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen von bijektivität Meine Frage: Ich soll zeigen, dass die Funktion f(x)=x-arctan (x) bijektiv ist und als Tipp wird angegeben, dass ich den Mittelwertsatz der Diff.rechnung nutzen soll. Wie muss ich vorgehen? Meine Ideen: Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist. Aber wie mache ich das genau?
15.04.2011, 08:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Mittelwertsatz nutzt Du für die Injektivität. Sei also $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \end{eqnarray}$ das kann man auch so schreiben : $\begin{eqnarray} f(x) - f(y) = 0 \end{eqnarray}$ Triff jetzt die Annahme, dass $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ ist und führe einen Widerspruchsbeweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes. edit: Der bessere Weg ist, $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \end{eqnarray}$ direkt die Funktionsdefinition einzusetzen, und soweit umzuformen dass der Mittelwertsatz da steht. Dann ist der Widerspruch sofort zu sehen.

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