Anzahl Elemente VR, Basis und Matrixgruppe

15.04.2011, 11:12	Peterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente VR, Basis und Matrixgruppe Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. 1) Wieviele Elemente besitzt der VR $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ? 2) Seien $\begin{eqnarray} v_1,...,v_k \in K^n \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Wieviele Elemente besitzt $\begin{eqnarray} <v_1,...,v_k> \end{eqnarray}$ ? 3) Bestimme die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray} GL(n,K) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: 1) $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ besitzt $\begin{eqnarray} q^n \end{eqnarray}$ Elemente. 2) Wenn 1) stimmt, dann besitzt jede Basis genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Elemente. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das formal begründen bzw. beweisen könnte. Falls meine Vermutungen korrekt sind, könnte mir dann jemand einen Hinweis geben, wie ich das noch formal beweisen kann? Die 3) möchte ich zunächst noch beiseite lassen, zumal ich da noch keinen Ansatz gefunden habe (Hinweise sind aber natürlich gerne gesehen ).
15.04.2011, 11:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente VR, Basis und Matrixgruppe Hallo Peterchen, 1) ist richtig, aber bei 2) ist doch gar nicht nach einer Basis gefragt. Da steht eine Menge mit k linear unabahängigen Vektoren und es wird nach der Mächtigkeit des Erzeugnisses gefragt. Das funktioniert ähnlich wie bei 1), wenn Du Dir überlegst, dass $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_k\} \end{eqnarray}$ eine Basis für dieses Erzeugnis ist. Zu 3): Nimm Dir eine feste Basis $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ (zum Beispiel die Standardbasis). Dann ist ein Element aus $\begin{eqnarray} {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray}$ eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt. Du musst nun überlegen, wie viele Vektoren als Bild von $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ möglich sind. Dann wie viele als Bild von $\begin{eqnarray} b_2 \end{eqnarray}$ möglich sind (diese müssen l.u. vom Bild des ersten Vektors sein) und so weiter... Gruß, Reksilat.

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