Von Intervallen erzeugte Sigma-Algebra

15.04.2011, 13:48

Nono

Von Intervallen erzeugte Sigma-Algebra

Meine Frage:
Es sei
$\begin{eqnarray*} \Omega := \left[0,1\right] \\ <br /> A:=\left[0,\frac{2}{3} \right], B:=\left[\frac{1}{3},1 \right] \subset \Omega \end{eqnarray*}$ .

Zu beschreiben ist nun die von A und B erzeugte sigma-Algebra

Meine Ideen:
Den Eigenschaften einer sigma-Algebra zufolge gilt nun:

$\begin{eqnarray*} \sigma(A,B) := \left\{ \left\{\right\}, \Omega, A, B, A^C, B^C, A\cup B, (A\cup B)^C, A^C\cup B^C, (A^C\cup B^C)^C \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma(A,B) = \left\{ (0,0), \left[0,1\right] ,\left[0,\frac{2}{3} \right], \left[\frac{1}{3} ,1\right], \left(\frac{2}{3},1 \right], \left[0,\frac{1}{3} \right), \left[0,\frac{1}{3} \right)\cup \left(\frac{2}{3},1 \right] , \left[\frac{1}{3} ,\frac{2}{3} \right] \right\} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig, wie kann ich die leere Menge sonst als Intervall darstellen; einfach weglassen?
Ist das eine Borel-Sigma-Algebra?

15.04.2011, 14:01

René Gruber

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Das mit dem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist schon eine sehr gewöhnungsbedürftige Darstellung der leeren Menge - bleib mal lieber bei $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ . "Weglassen" wäre auf jeden Fall falsch, die leere Menge gehört zwingend dazu!

Von dieser Formfrage abgesehen ist aber alles einwandfrei. Freude

Zitat:

Original von Nono
Ist das eine Borel-Sigma-Algebra?

Unter einer Borel-Sigma-Algebra versteht man die Sigma-Algebra, die von der Menge aller offenen Teilmengen der Grundmenge erzeugt wird. Der Begriff "offen" besagt schon mal, dass man auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Topologie braucht - welche hast du da hier im Sinn? Im Sinne der üblichen Euklidischen Metrik ist deine Sigma-Algebra jedenfalls nicht Borelsch, dazu ist sie viiiiiel zu klein. Augenzwinkern

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