Bruchrechenregeln aus Axiomen beweisen?

15.04.2011, 12:18

Shizorano

Bruchrechenregeln aus Axiomen beweisen?

Meine Frage:
Hallo und guten Tag,
ich soll $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray*}$ beweisen!?

Meine Ideen:
Ich hab schon gedacht, dass $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = \frac{1}{xy} = \frac{1}{x}*\frac{1}{y} = x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray*}$
Aber das würde ja genau die regel vorraussetzen, oder?
Wie beweise ich es sonst?

Danke schonmal!!!
MFG

15.04.2011, 12:19

Mazze

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Für das inverse Element in einem Zahlenkörper gilt

$\begin{eqnarray*} x*x^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Das inverse Element ist eindeutig bestimmt. Was musst Du also lediglich beweisen?

15.04.2011, 12:35

Shizorano

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RE: Bruchrechenregeln aus Axiomen beweisen?
Also,

die exakte Aufgabenstellung lautet:

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R , x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Wird hier das Kommutativgesetz benutzt?

15.04.2011, 12:38

Mazze

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Ich hab Dir genau die 2 Stichworte gegeben, die Du für den Beweis brauchst. Das Kommutativgesetz brauchst Du zwar in einem Schritt, aber wenn Dir die grundlegende Beweisidee nicht klar ist, hilft es Dir nicht. Überdenke nochmal meine Hinweise oben.

15.04.2011, 13:43

Shizorano

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Meinst du, ich solle zeigen, dass sowohl die rechte als auch die linke Seite jeweils mit xy multipliziert 1 ergeben?!

15.04.2011, 13:44

Mazze

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Zitat:

Meinst du, ich solle zeigen, dass sowohl die rechte als auch die linke Seite jeweils mit xy multipliziert 1 ergeben?!

Ganz genau! Tatsächlich würde sogar nur von Links (bzw. nur von rechts) reichen, denn wenn ein Linksinverses in einem Zahlenkörper existiert, so kann man zeigen, dass dann auch ein Rechtsinverses existiert und das beide übereinstimmen.

15.04.2011, 19:22

Shizorano

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Hab damit jetzt mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen :

$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = x^{-1}*y^{-1}<br /> \Rightarrow (xy)^{-1}xy = x^{-1}y^{-1}xy<br /> \Rightarrow 1 = x^{-1}xy^{-1}y<br /> \Rightarrow 1 = 1 * 1 \end{eqnarray*}$

Was meint Ihr dazu?

16.04.2011, 09:09

Mazze

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Falsches Vorgehen. Du setzt bei deinem Beweis bereits voraus, dass

$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = x^{-1}*y^{-1} \end{eqnarray*}$

gilt. Trotzdem machst Du schon die richtigen Schritte. Ich würde einfach zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} x^{-1}y^{-1}xy = 1 \end{eqnarray*}$

ist, denn daraus folgt sofort dass $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Warum folgt das sofort ?

16.04.2011, 09:28

Shizorano

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Vllt, da
$\begin{eqnarray*} x^{-1}*y^{-1}*x*y = 1 \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} \end{eqnarray*}$
multipliziert (und nach 'missbrauch' der Assoziativität)
$\begin{eqnarray*} x^{-1}*y^{-1}*1 = 1*(xy){-1} \end{eqnarray*}$
ergibt, sodass durch das Axiom "Existens der Eins" der Beweis gegeben ist?

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