Isomorphie nachweisen

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Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie nachweisen
Hallo Leute,

komme bei der folgenden Aufgabe nicht wirklich weit: Prüfen Sie, ob folgende Gruppen isomorph sind:

und für .

Den Homomorphiesatz soll ich bei dieser Aufgabe nicht verwenden. Nun die beiden Mengen sind gleichmächtig, denn . Nun benötige ich eine Abbildungsvorschrift. Allerdings weiß ich nicht wie man hier eine geschickt findet verwirrt .... Hat da jemand einen Tipp für mich?

Schönen Gruß Pustefix91
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die 1 mal vergisst sind doch in G bereits Abbildungen auf einer (n-1)-elementigen Menge
 
 
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die "1" durch eine Abbildungsvorschrift verschwinden lassen kann.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Beschreibe einmal das Bild einer beliebigen Abbildung sigma aus G. Wie sieht diese Funktion aus?
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm wie genau meinst du das? Also z.B so? Dabei wird einfach nur die 1 und n vertauscht, der Rest bleibt identisch.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat für mich nicht viel mit der Aufgabe zu tun? verwirrt

Nehmen wir doch einmal n=5 und als Sigma nehmen wir (1)(23)(45). Wie würdest du das in die S_{n-1} abbilden?
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja ich würde einfach nur (23)(45) stehen lassen. Aber das ist ja noch keine Vorschrift.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, klar ist das ne Vorschrift.
Es ist die Vorschrift:
. Oder wenn du {1,...,n-1} als Grundmenge haben willst, dann eben

mit
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Doch, klar ist das ne Vorschrift.
Es ist die Vorschrift:
. Oder wenn du {1,...,n-1} als Grundmenge haben willst, dann eben

mit


Ehrlich gesagt tue ich mich gerade schwer das zu verstehen... Also ich betrachte noch Mal aus G. Wenn ich das nun in die Funktion einsetze ehrhalte ich doch folgendes: Also insgesamt: . Oder sehe ich das falsch?

Schönen gruß Pustefix91
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast genau dieselben Zykelstruktur aber alle Zahlen wurden eben um 1 verringert Augenzwinkern
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Muss ich denn nicht noch nachweisen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist? Falls ja, wie mache ich das denn? Normalerweise ist es doch so, man wählt zwei Elemente aus der Grundmenge, sagen wir x,y mit x = y und zeigt das auch f(x) = f(y) gilt.
Falls ich das hier machen muss, wie stelle ich das denn an? Die Abbildung hängt ja von dem jeweiligen Zykel aus G ab.... Das ist mir noch nicht ganz klar. verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Warum solltest du wohldefiniert zeigen müssen? Hier haben wir doch keine Repräsentanten oder ähnliches. Was du zeigen musst, ist dass dies tatsächlich ein Isomorphismus ist. Das ist aber nur langweiliges Nachrechnen, durch die Umbennung i |-> i-1 ein wenig schwerer Augenzwinkern
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Warum solltest du wohldefiniert zeigen müssen? Hier haben wir doch keine Repräsentanten oder ähnliches.
Wann muss man das denn dann zeigen? Was meinst du mit "Repräsentanten oder ähnliches"?


Hm mir bereitet es schon Schwierigkeiten nachzuweisen, dass es sich um einen Homomorphismus handelt:
Seien . Dann gilt: und . Irgendwie habe ich die Vermutung, dass das so gar nicht stimmt. Was mache ich denn da falsch?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nicht klar ist, ob die Abbildung eine Abbildung ist muss man wohldefiniert zeigen.

Dein zweite Term macht keinen Sinn, warum verknüpfst du dann nachher einfach mit +?

Du musst vielmehr berechnen.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Wenn nicht klar ist, ob die Abbildung eine Abbildung ist muss man wohldefiniert zeigen.

Dein zweite Term macht keinen Sinn, warum verknüpfst du dann nachher einfach mit +?

Du musst vielmehr berechnen.


Ja, stimmt. Das plus macht keinen Sinn. .

Hm und da hörts schon wieder auf. Wie geht es nun weiter? Ich muss doch zeigen, dass oder sehe ich das falsch?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du hast doch gerade diesen Term bereits für berechnet...

edit: Der erste Term nach dem = macht bei dir keinen großen Sinn
edit2: Deine erste Rechnung hat auch einen Fehler, schaue dir beide nochmal genau an. Ich sollte nicht nur aufs Ergebnis schauen Augenzwinkern
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Noch mal. und . So müsste es stimmen oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Schönheitskorrektur. Den Ausdruck gibt es nicht, sondern . Aber sonst stimmt es.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Danke dir. Nun muss ich noch nachweisen das es sich auch noch um einen Isomorphismus handelt.

Also zunächst verusuche ich zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist: Seien Sei nun beliebig. Es gilt: Da i beliebig gewählt war.

Surjektiv: Sei Sei beliebig. Dann gilt: Hm wie mache ich nun hier weiter?

Irgendwie kommt mir das auch sehr seltsam vor.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pustefix91injektiv ist: Seien Sei nun beliebig. Es gilt: Da i beliebig gewählt war.

Die 1 hast du vergessen

Zitat:

Surjektiv: Sei Sei beliebig. Dann gilt: Hm wie mache ich nun hier weiter?

Du solltest zunächst einmal ein konkretes Sigma angeben! Das ist doch bisher gar nicht definiert worden von dir.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Die 1 hast du vergessen

Hm welche Auswirkung hat die 1 denn bei meiner Implikation?
Zitat:

Surjektiv: Sei Sei beliebig. Dann gilt: Hm wie mache ich nun hier weiter?

Du solltest zunächst einmal ein konkretes Sigma angeben! Das ist doch bisher gar nicht definiert worden von dir.[/quote]

Wie meinst du das? Soll ich z.B (23)(45) als Sigma konkret wählen? Man muss das doch für alle Sigma zeigen...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ist halt eine schlampige Folgerung wenn du die 1 nicht wenigstens erwähnst. Das die Bilder der 1 gleich sind liegt aber bereits an der definition von G.

Du musst das Sigma natürlich in Abhängigkeit von Sigma Schlange angeben.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also: und für . So korrekt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne es doch nach ob es stimmt Augenzwinkern
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, doch das müsste so stimmen. Also:

Surjektiv: Sei mit und . Somit ist die Funktion surjektiv. Ist das so richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das passt so nicht. Was soll das sigma in der ersten Folgerung sein?

Fange so an: Sei Wir definieren mit .... Es gilt dann ...
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Wir definieren mit und für . Also existiert für jedes ein für . Somit ist die Funktion surjektiv. Hoffentlich stimmt es nun.
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