Verständnisfrage Normalteiler und Normalteiler nachweisen

15.04.2011, 17:15

Zitrone21

Verständnisfrage Normalteiler und Normalteiler nachweisen

Hallo zusammen,
ich habe scheinbar Probleme den Begriff des Normalteilers zu verstehen, da mir bereits die Notation Unklarheiten macht.

In der Vorlesung haben wir Normalteiler so definiert:
Eine Untergruppe von N von G heißt Normalteiler, wenn $\begin{eqnarray*} \forall x \in G: xNx^{-1} = N \end{eqnarray*}$
Wie genau habe ich diese Notation zu verstehen?
Die Definition kann ich ja auch so umstellen: $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \Leftrightarrow xN = Nx \end{eqnarray*}$ , was mir irgendwie sagt, das die Links und Rechtsnebenklassen gleich sind.
Mein konkretes Problem ist, wie zeige ich denn das $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \end{eqnarray*}$ gilt. Muss ich nun zeigen, das $\begin{eqnarray*} \forall n \in N,\forall x \in G \end{eqnarray*}$ die Verknüpfung wieder nur in N liegt? Oder was genau bedeutet $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \end{eqnarray*}$

Darüber hinaus haben wir gesagt, das in abelschen Gruppen alle Untergruppen Normalteiler sind, was ja hieraus folgt: $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \Leftrightarrow xx^{-1}N = N \Leftrightarrow N=N \end{eqnarray*}$

Nun habe ich Probleme zu zeigen, das eine Untergruppe ein Normalteiler ist.
Ich habe z.B. gegeben, das die Diedergruppe eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ ist. (Die Elemente habe ich als Permutationen in Zykelschreibweise gegeben)
Die Kleinsche Vierergruppe ist angegeben als
$\begin{eqnarray*} V = \{id, (1,4)(2,3),(1,2)(3,4), (1,3)(2,4)\} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Zeige $\begin{eqnarray*} <(1,4)(2,3)> \end{eqnarray*}$ ist Normalteiler von V.
Also $\begin{eqnarray*} <(1,4)(2,3)> \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{id, (1,4)(2,3)\} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (1,4)(2,3) \end{eqnarray*}$ selbstinvers ist.

Muss ich nun zeigen, das $\begin{eqnarray*} \forall x \in V: xnx^{-1} \in \{<(1,4)(2,3)>\} \forall n \in \{<(1,4)(2,3)>\} \end{eqnarray*}$ gilt? Oder was ist hier zu tun?

15.04.2011, 17:48

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition scheint dir keine Probleme zu bereiten, denn alles ist völlig richtig formuliert.
Tipp zur Aufgabe: V ist abelsch.

15.04.2011, 18:02

Zitrone21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Verständnisfrage Normalteiler und Normalteiler nachweisen

Zitat:

Mein konkretes Problem ist, wie zeige ich denn das $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \end{eqnarray*}$ gilt. Muss ich nun zeigen, das $\begin{eqnarray*} \forall n \in N,\forall x \in G \end{eqnarray*}$ die Verknüpfung wieder nur in N liegt? Oder was genau bedeutet $\begin{eqnarray*} xNx^{-1} = N \end{eqnarray*}$

[...] denn alles ist völlig richtig formuliert [...]

Also muss ich hier nur $\begin{eqnarray*} \in N \end{eqnarray*}$ zeigen?

Danke für den Hinweis, das V abelsch ist. Dann ist der Aufgabenteil ja einfach, weil ich argumentieren kann, das Untergruppen von abelschen Gruppen Normalteiler sind.
Wie würde ich das denn zeigen, wenn V nicht abelsch wäre?

Oder konkret, eine andere Teilaufgabe:
$\begin{eqnarray*} <(1,4)(2,3)> \end{eqnarray*}$ ist kein Normalteiler der Diedergruppe

Hier werde ich wohl mit einem Gegenbeispiel kommen. Mir ist leider immer noch total unklar, wie ich einen Normalteiler rechnerisch nachweise oder wiederlege

15.04.2011, 18:14

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz konkretes Gegenbeispiel: Zeichne ein Quadrat und nimm eine Drehung d um 90° nach rechts. Dann ist $\begin{eqnarray*} d(1,4)(2,3)d^{-1}\neq (1,4)(2,3) \end{eqnarray*}$ . Das kannst du sofort sehen, wenn du die Operationen auf das Quadrat anwendest.

Weiterführender Tipp: Normalteiler sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen. Warte ein bißchen auf Homomorphiesatz und Isomorphiesätze, dann erschließen sich die Normalteiler aufgrund ihrer Anwendungen

15.04.2011, 19:03

Zitrone21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle mir das Quadrat vor. Angenommen $\begin{eqnarray*} (1,4)(2,3) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Drehung um 90° nach rechts. Dann soll es keine zwei Operationen geben, die nach der Ausführung das Quadrat in dem 90° gedrehten Zustand lassen.

Einige Operationen sind allerdings selbst invers, so z.B. das Spiegeln des Quadrates an der x-Achse.
Somit kann doch d = Spiegeln an der x-Achse und $\begin{eqnarray*} d^{-1}=d \end{eqnarray*}$ sein und das Quadrat bleibt um 90° nach rechts gedreht.

Irgendwie scheine ich hier was noch nicht verstanden zu haben.
Wie würde ich es denn rechnerisch anstatt anschaulich machen?

16.04.2011, 10:37

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei das Quadrat. Dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma=(1,4)(3,2) \end{eqnarray*}$ die Spiegelung an der horizontalen Achse, also selbstinvers, also der Erzeuger einer Gruppe der Ordnung 2.
Die Drehung d nach rechts ist auch selbstinvers, aber es ist $\begin{eqnarray*} d \circ \sigma \neq \sigma \circ d \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} d\circ\sigma(Q)=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix},\sigma\circ d(Q)=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Drehungen und Spiegelungen erzeugen die Diedergruppe des Quadrats, wie gezeigt, ist die von der Spiegelung erzeugte Untergruppe kein Normalteiler.

Neue Frage »

Antworten »

Verständnisfrage Normalteiler und Normalteiler nachweisen

Verwandte Themen