Produktdarstellung von "Primzahlfunktion"

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PeterH Auf diesen Beitrag antworten »
Produktdarstellung von "Primzahlfunktion"
Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

Ich habe in Gedanken eine Funktion



definiert, deren Nullstellen nur Primzahlen sein sollen, während für alle anderen natürlichen Zahlen u



gelten soll, wobei



die Teileranzahlfunktion darstellt.
Die Funktion soll des weiteren die y-Achse bei y = 4 schneiden und achsensymmetrisch sein. Ich habe die Funktion auch einmal zeichnen lassen, damit ihr besser sehen könnt, was ich meine (siehe Anhang).
Jetzt wollte ich diese Funktion als unendliches Produkt darstellen und dachte erstmal an folgende Funktion:



Allerdings ist mir dann recht schnell aufgefallen, dass es damit nicht geht. Man kann aber doch jede Funktion über ihre Nullstellen definieren, nicht wahr? Wie ginge dies denn mit meiner Funktion? Hat vielleicht jemand eine Idee?

Mit freundlichen Grüßen,
PeterH

Meine Ideen:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeterH
Man kann aber doch jede Funktion über ihre Nullstellen definieren, nicht wahr?

Nein, nicht wahr: Das mag auf Polynome zutreffen (abgesehen von einem Streckungsfaktor), und das auch nur in und bei endlich vielen Nullstellen.
 
 
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nein? Ich hatte mich dabei an Eulers Produktdarstellung des Sinus als



erinnert und hatte überlegt, dass dies doch bestimmt auch mit Primzahlen gehen müsse.
Mfg PeterH
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine Formel zitieren willst, dann doch bitte richtig:



Ansonsten: Schlüsse vom besonderen auf das allgemeine gehen manchmal gut aus, und oft nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre auch nicht ganz uninteressant, wie man Funktionen über ihre Nullstellen definieren soll, welche gar keine haben (nicht einmal im Komplexen!), z.B. ,... Big Laugh
leithian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Wenn man etwas in der Art versuchen will ist man ganz gut beraten das für komplexe (ganze) Funktionen zu machen. Hier gibt es einige Sätze die ganz holomorphe Funktionen mit den Nullstellen in Verbindung bringen (natürlich unter gewissen Bedingungen).

Z.B Jensensche Formel , Produktsatz von Hadamard der Sagt, dass sich jede ganze Funktion die sich im Wachstum gegen eine exp-Funktion abschätzen lässt im wesentlichen (modulo Korrekturfaktor und exp(polynom)) als Produkt über Nullstellen schreiben lässt.

Oder den Weierstaßschen Produktsatz der dein Problem im Wesentlichen löst- aber eben nur in C- allerdingt wird eine reelle Funktion mit den Eigenschaften durch den Indentitätssatz durch diese eindeutig analytisch auf C fortgesetzt.

Vielleicht hilft das ja.

mfg

leithian
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal9000

Ups da habe ich an die Funktion sin(pi*x) gedacht.

@leithian

Danke für die Ansätze. Vielleicht lässt sich daraus ja was machen.

Mfg PeterH
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeterH
Ups da habe ich an die Funktion sin(pi*x) gedacht.

Hätte ich auch akzeptiert - aber auch dafür war die Formel falsch. Was du angegeben hattest, war ein abgesehen von den Nullstellen nirgends (!) konvergentes Produkt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeterH


Selbst die Nullstellen von sind davon nicht zur Gänze ausgenommen, wie man für x=0 sieht... Augenzwinkern
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