Taylorreihe entwickeln

15.04.2011, 18:30

El Rey

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Taylorreihe entwickeln

Meine Frage:
hallo liebes forum smile

smile

ich sitze an folgender aufgabe

ich soll eine taylorreihe um $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ für die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich kenne die taylorformel und ich denke man sollte jez erstmal ableiten um zu sehen wie die ableitungen aussehen um etwas immer wiederkehrendes zu sehen aber wie soll ich um $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einbauen ??

kann mir da wer helfen ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2011, 18:40

Dopap

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in der Formel steht doch zweimal ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
das ist in deinem Fall eben Null.

15.04.2011, 18:50

El Rey

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aso okay ich versuchs mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2011, 19:53

Dopap

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ich muss Schluss machen...

Nehme an, dass du kein allgemeines Glied der n_ten Ableitung finden wirst unglücklich

unglücklich

Es gibt noch die spezielle Formel
$\begin{eqnarray*} (1+z)^\alpha = \sum _{k=0} ^{finit} \binom {\alpha}{k} z^k \end{eqnarray*}$

was unter Binomialreihe bekannt ist.

alles weitere hier: Binomische Reihe

15.04.2011, 20:55

El Rey

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ich stell in den ableitungen keine regelmäßigkeiten fest geschockt

geschockt

kann mir da wer helfen ??

(die formel hatten wir nicht, also dürfen wir die auch nich benutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

15.04.2011, 21:24

El Rey

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also vllt sollte ich ja meine ableitungen mal angeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} = \frac{x}{(1+x^{2} )^{\frac{1}{2} }} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{dx^{2}} = \frac{1}{(1+x^{2} )^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d^{3}}{dx^{3}} = \frac{-3}{(1+x^{2} )^{\frac{5}{2} }} \end{eqnarray*}$

bei der 4. ableitung habe ich nur noch mist raus Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{4}}{dx^{4}} = \frac{3-12x^{2}}{(1+x^{2} )^{\frac{7}{2} }} \end{eqnarray*}$

aber wie mach ich nun weiter ich kann nich periodisches erkennen geschockt

geschockt

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15.04.2011, 21:34

Dopap

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bin gar kein Freund von :
darf man nicht benützen
es sei denn, es steht w.g. Übungszwecken in der Aufgabe.

Schreib den Taylor bis 3 und setz das Restglied dahinter, das ist auch "exakt" Augenzwinkern

Augenzwinkern

mehr seh' ich nicht.

15.04.2011, 21:40

Dopap

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oh! schon gepostet!

die 2-te Ableitung ist noch in Ordnung der Rest nicht.
Mist würd' ich bei der 4-te Ableitung nicht sagen, die sieht noch schlimmer aus wie Deine..
Aber egal: es bleibt bei Obigem.

15.04.2011, 21:41

El Rey

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ich muss jez nur noch als reihe formulieren

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{12}x^{4}+...... \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 22:00

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1+\frac 1 2 x^2-\frac 1 8 x^4 +\frac 1 {16} x^6 - \frac 5 {128} x^8+\frac 7 {256} x^{10}-\frac {21}{1024}x^{12}\ldots \end{eqnarray*}$

15.04.2011, 22:07

El Rey

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jez hab ich zwar meine fehler gefunden aber ich komm immer noch nich drauf

ich bin bisher soweit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{n} x^{2k} \end{eqnarray*}$

jez suche ich noch $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ da komm ich grad i-wie nich klar

15.04.2011, 22:21

Dopap

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Da geht's dir wir mir:
sehe ( noch ) keine Struktur in $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

15.04.2011, 22:54

El Rey

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auf jeden fall alternierend und i-was mit hoch k oder mit fakultät weil sonst kann am anfang nich eins rauskommen

aber weiter komme ich nich

15.04.2011, 23:57

Mystic

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Seltsam, dieses Rätselraten, wo ihr doch beide schon wisst, wie die Formel für die a_n aussieht, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_0=1, a_1=\frac 12,\ a_n=\binom {1/2} n=(-1)^{n+1} \frac {1 \cdot 3 \ldots \cdot (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} \quad (n>1) \end{eqnarray*}$

16.04.2011, 00:03

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

also meinst du $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^{k+1}\frac{2k-3}{2k} \end{eqnarray*}$ ??

16.04.2011, 00:05

Mystic

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Wieso?

verwirrt

16.04.2011, 00:17

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

steht doch in deinem tipp oder nich ??

naja vllt bin ich grad en bischen scher von begriff Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2011, 00:19

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich les da was ganz anderes... geschockt

geschockt

16.04.2011, 00:22

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

hää ?? ich verstehs i-wie nich Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber selbst wenn alles richtig is was du sachst wie baut man dann $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ mit ein ??

16.04.2011, 00:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Seltsam, dieses Rätselraten, wo ihr doch beide schon wisst, wie die Formel für die a_n aussieht...

Danke Mystik für den post Freude

Freude

16.04.2011, 00:51

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

okay und wie sieht jez die formel aus ?? geschockt

geschockt

16.04.2011, 01:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

die hat doch Mystik angegeben:

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} a_0=1, a_1=\frac 12,\ a_n=\binom {1/2} n=(-1)^{n+1} \frac {1 \cdot 3 \ldots \cdot (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} \quad (n>1) \end{eqnarray*}$

Sorry, es steht aber nirgends geschrieben, dass das Taylorpolynom nicht ein oder zwei "Startglieder" haben darf Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2011, 07:55

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
die hat doch Mystik angegeben:

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} a_0=1, a_1=\frac 12,\ a_n=\binom {1/2} n=(-1)^{n+1} \frac {1 \cdot 3 \ldots \cdot (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} \quad (n>1) \end{eqnarray*}$

Sorry, es steht aber nirgends geschrieben, dass das Taylorpolynom nicht ein oder zwei "Startglieder" haben darf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wobei genaugenommen nur der Fall n=0 aus meiner allgemeinen Formel herausfällt... Der Fall n=1 wäre durchaus noch inkludiert, wenn man akzeptiert, dass sich in diesem Fall dann für den Zähler 1*3*...*(2n-3) des Bruches das "leere Produkt", also dann 1 ergibt...

Wie es scheint, hat aber El Rey auch so schon genug Schwierigkeiten, die Formel zu verstehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2011, 10:43

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich das dann in meine reihendarstellung einbauen ?? geschockt

geschockt

16.04.2011, 10:56

Mystic

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Hm, seltsame Frage... Es geht doch schon die ganze Zeit um die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in der Reihendarstellung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n} \end{eqnarray*}$

oder etwa nicht... verwirrt

verwirrt

Und genau diese habe ich durch meine Formel oben angegeben...

16.04.2011, 11:22

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

naja die 1 kann man ja eig vor die summe ziehen und dann startet der summen index erst bei 1 aber wie soll ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ da einbauen ??

16.04.2011, 11:38

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

oder vllt kannst du die reihe mal so aufschreiben wie du das machen würdest smile

smile

16.04.2011, 11:50

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast oben geschrieben

Zitat:

Original von El Rey
jez hab ich zwar meine fehler gefunden aber ich komm immer noch nich drauf

ich bin bisher soweit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{n} x^{2k} \end{eqnarray*}$

jez suche ich noch $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ da komm ich grad i-wie nich klar

Wenn man den offensichtlichen Schreibfehler in der Notation ausbessert, kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{2n} \end{eqnarray*}$

genau wie ich oben geschrieben habe... Ferner wurde auch schon angegeben wie die Reihe aussieht, wenn man ein paar Glieder beispielhaft ausrechnet, z.B. hier

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} 1+\frac 1 2 x^2-\frac 1 8 x^4 +\frac 1 {16} x^6 - \frac 5 {128} x^8+\frac 7 {256} x^{10}-\frac {21}{1024}x^{12}\ldots \end{eqnarray*}$

Ich habe ferner angegeben, wie die allgemeine Formel für die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aussieht nämlich so

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} a_0=1, a_1=\frac 12,\ a_n=\binom {1/2} n=(-1)^{n+1} \frac {1 \cdot 3 \ldots \cdot (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} \quad (n>1) \end{eqnarray*}$

Ich habe also wirklich keine Ahnung, was deiner Meinung nach jetzt noch "fehlt"... verwirrt

verwirrt

16.04.2011, 12:03

El Rey

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naja ich kann schlecht in der summen formel ne pünktchen pünktchen schreibweise angeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

außerdem seit wann gibt es einhalb über n ??? muss das nich immer ne natürliche zahl sein ??

16.04.2011, 12:56

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit "Pünktchen Pünktchen Schreibweise" die Formel

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} a_0=1, a_1=\frac 12,\ a_n=\binom {1/2} n=(-1)^{n+1} \frac {1 \cdot 3 \ldots \cdot (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} \quad (n>1) \end{eqnarray*}$

meinst, so kann ich dir versichern, dass das in der Mathematik vollkommen legitim ist... Überhaupt ist es ein allgemeines Prinzip, dass aus der Notation einfach nur klar hervorgehen soll, was gemeint ist... Wenn du also z.B. die Formel für n=4 auswerten willst, dann sagt dir obige Formel folgendes

1. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Vorzeichen durch den Faktor (-1)^(4+1) bestimmt wird, also dann negativ ist...
2. Im Zähler des Bruches steht das Produkt aller ungeraden Zahlen von 1 bis 5 (=2*4-3), also dann 1*3*5...
2. Im Nenner steht das Produkt aller geraden Zahlen von 1 bis 8 (=2*4), also dann 2*4*6*8...

Insgesamt erhält man so nach Kürzen

$\begin{eqnarray*} a_4=-\frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}=-\frac 5{128} \end{eqnarray*}$

was ja auch stimmt...

Binomialkoeffizieten sind allgemein so definiert

$\begin{eqnarray*} \binom \alpha k =\frac {\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha -k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} \quad (\alpha \in \mathbb R, \ k \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

Versuch mal damit probeweise $\begin{eqnarray*} \binom {1/2}4 \end{eqnarray*}$ zu berechnen... Wenn du dich dabei nicht verrechnest, sollte dasselbe wie oben für $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ rauskommen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2011, 13:24

El Rey

Auf diesen Beitrag antworten »

okay kommt raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

soll man die 1 für $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ vor die summe ziehen ??

16.04.2011, 13:38

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das unter Benützung obiger Formel für Binomialkoeffizienten in der Form

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)^{1/2}=\sum_{n=0}^\infty \binom {1/2}n x^{2n} \end{eqnarray*}$

anschreibst, dann ist auch n=0 keine Ausnahme mehr...

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