ggt von polynomen

15.04.2011, 19:48	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
ggt von polynomen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe eine Aufgabe und eigentlich ein ergebnis, das aber falsch ist. seit stunden versuche ich, das richtige zu bekommen - keine chance... vielleicht könnt ihr sagen, was ich falsch mache? Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} p_1=X^3+X^2+X+1, p_2=X^4-2X^3-3X-6\in \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray}$ . Man bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler q von p_1 und p_2. Meine Ideen: Per euklidischen Algorithmus: $\begin{eqnarray} X^4-2X^3-3X-6=(X-3)(X^3+X^2+X+1)+2X^2-X-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X^3+X^2+X+1 = (\frac{1}{2}X+\frac{3}{4})(2X^2-X-3)+\frac{13}{4}X+\frac{13}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2X^2-X-3=(\frac{8}{13}X-\frac{12}{13})(\frac{13}{4}X+\frac{13}{4}) \end{eqnarray}$ Und der ggt ist dann $\begin{eqnarray} \frac{8}{13}X-\frac{12}{13} \end{eqnarray}$ . Aber dies ist offenbar falsch! Wenn ich die Polynome dadurch teile, bekomme ich immer einen Rest....und außerdem sagt nen Tool aus dem internet dass X+1 richtig wäre... findet jemand meinen fehler??? danke!
15.04.2011, 20:08	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, erstmal ist in Deiner Aufgabe nach dem normierten ggT gefragt, d.h. Du hättest Dein Ergebnis noch normieren müssen - abgesehen davon, dass es falsch ist Also ich würde die Aufgabe einfach so lösen. Von p1 errät man sofort die Nullstelle -1. Polynomdivision gibt $\begin{eqnarray} p1 = (x+1)(x^2+1) \end{eqnarray}$ . Beide Faktoren sind irreduzibel, der zweite deshalb, weil er keine Nullstelle in Q hat. Jetzt muss man nur noch schauen, welcher der beiden Faktoren p2 teilt. Da -1 auch Nullstelle von p2 ist, teilt (x+1) auch direkt p2. Dass x^2+1 nicht p2 teilt, kann man entweder durch Polynomdivision überprüfen, oder man erweitert das Polynom ins Komplexe und stellt fest, dass weder i noch -i Nullstelle von p2 sind. Also kann der zweite Faktor p2 nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ teilen, also erst recht nicht in Q. Also muss (1+X) der ggT sein. edit: Vielleicht kann ja noch jemand anderes etwas zu Deiner Rechnung sagen, den euklidischen Algorithmus hab ich nicht so drauf.
15.04.2011, 20:12	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke, das klingt alles super! aber ich glaube, dass wir das mit dem eukl. alg. machen sollen, weil wir den grade in der vorlesung hatten - im übrigen würde ich gerne meinen fehler wissen danke trotzdem
15.04.2011, 20:20	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
So, also ich bins mal durchgegangen. Du hast doch soweit richtig gerechnet. Im letzten Schritt hast Du $\begin{eqnarray} (13/4X+13/4) \end{eqnarray}$ . Das Ganze normiert ist doch (x+1). Ich glaube, beim euklidischen Algorithmus musst Du den letzten Faktor als ggT nehmen, durch den Du zuletzt geteilt hast. edit: ja, so stimmts definitiv.
15.04.2011, 22:21	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! oh ja - was ein dummer fehler

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