Lösung eines GLS mit bel. b

05.12.2006, 18:20

Dunkit

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Lösung eines GLS mit bel. b

Also wir haben ein Gleichungssystem Ax = b, wobei A eine 4x5 Matrix ist und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ beliebig. jetzt soll ich dafür eine Lösungsmenge finden... Die Matrix A ist auch in Zahlen gegeben, aber das soll erstmal egal sein.
Mein ansatz ist, dass ich das homogene GLS läse und die Lösungsmenge dann um ein bestimmtes v verschiebe.
Frage mich aber gerade, ob das überhaupt so möglich ist... kann mir das jemand bestätigen.

Meine andere Idee wäre, das Ganze allgemein zu lösen, und dann am Ende Fallunterscheidungen zu machen...

06.12.2006, 09:39

Mazze

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Zitat:

Meine andere Idee wäre, das Ganze allgemein zu lösen, und dann am Ende Fallunterscheidungen zu machen...

Ich würde statt dessen direkt Gauß mit dem allgemeinen b machen aber zur Frage mit dem homogenen System:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{K}^{n,m}, x \in \mathbb{K}^m, b \in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ und sei L die Lösungsmenge von

$\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$

Betrachte eine spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 ~ von ~ Ax = b \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} A(x_0 + L) = Ax_0 + AL = Ax_0 + 0 = Ax_0 = b \end{eqnarray*}$

wobei hier AL für $\begin{eqnarray*} Ax , x \in L \end{eqnarray*}$ steht

Aber ich frag mich gerade warum ich das durchrechne Du kennst das ja schon. Kannste so machen.

06.12.2006, 19:04

Dunkit

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also mit Gauss kommt da raus:
$\begin{eqnarray*} x_1 beliebig \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = b_1 - \frac{7}{6} b_2 - \frac{1}{6} b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 2b_1 - \frac{7}{3} b_2 - \frac{1}{3} b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = - \frac{1}{3} b_1+ \frac{19}{12} b_2 + \frac{1}{12} b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5 = -\frac{1}{3} b_1+ \frac{7}{12} b_2 - \frac{1}{12} b_3 \end{eqnarray*}$

Sooo schön und gut, aber wie gebe ich das als LösungsMENGE an?

06.12.2006, 19:15

Mazze

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$\begin{eqnarray*} L(b) = \{x \in \mathbb{R}^{5} : x_1 \in \mathbb{R}, x_2 = b_1 - \frac{7}{6} b_2 - \frac{1}{6} b_3, x_3 = ... ~ usw\} \end{eqnarray*}$

06.12.2006, 19:18

Dunkit

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hmmm ok, geht das nicht eleganter? Big Laugh

Big Laugh

06.12.2006, 19:25

Mazze

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Du musst die komponenten der Lösungsvektoren ja aufschreiben, damit ist die minimale Möglichkeit den Kram aufzuschreiben jede Komponente zu benennen.

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06.12.2006, 20:22

Dunkit

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Also irgendwie habe ich mich glaub ich im letzten Schritt vertan, denn x3 müsste beliebig sein, und die anderen hängen irgendwie davon ab...
also am besten poste ich mal meine "Endmatrix":

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & | & b_1 - \frac{7}{6} b_2 - \frac{1}{6} b_3 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 & | & - \frac{1}{3} b_1+ \frac{19}{12} b_2 + \frac{1}{12} b_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &1&| & -\frac{1}{3} b_1+ \frac{7}{12} b_2 - \frac{1}{12} b_3 \\ 0 & 0 & 0 &0&0&|& \frac{2}{3} b_1 - \frac{5}{12} b_2 + \frac{1}{6} b_3 + b_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hm also x1 ist auf jeden Fall beliebig und x3 auch, aber sind die anderen variablen irgendwie abhängig von den beiden... sorry, ich sehs grad net =(

06.12.2006, 20:31

Mazze

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So wie es da steht ist es nur lösbar wenn

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} b_1 - \frac{5}{12} b_2 + \frac{1}{6} b_3 + b_4 = 0 \end{eqnarray*}$

ist.

06.12.2006, 20:37

Dunkit

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ok, danke, hätte ich auch selbst drauf kommen können Forum Kloppe

Forum Kloppe

Und wie sieht das jetzt mit den beliebigen x aus?

06.12.2006, 20:44

Mazze

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x1 ist beliebig der Rest nicht.

06.12.2006, 20:50

Dunkit

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hm, laut unserem prof ist aber jedes xi, in dessen Spalte KEIN pivot steht (also hier 1 und 3), frei wählbar und die anderen xi richten sich danach... könnte man hier also nicht eine Abhängigkeit zwischen x2 und x3 herstellen?

06.12.2006, 21:10

Mazze

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Ahjo die 3 ist auch beliebig.

06.12.2006, 21:10

Dunkit

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GANZ beliebig oder nur frei wählbar und die anderen dann abhängig?

06.12.2006, 21:16

Mazze

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Beliebig heißt freiwählbar, allerdings ist nach zeile 1 x2 abhängig davon.

06.12.2006, 21:18

Dunkit

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also x3 = 2 * x2 ?

06.12.2006, 21:46

Mazze

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Nein, das ist falsch. Da mir die Ausdrücke auf der rechten Seite zu kompliziert sind nenne ich sie a,b,c,d von oben nach unten.

Ist d = 0 ist x3 beliebig
x5 = c
x4 = b
x1 beliebig
x2 = a - 2x3

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