Gleichung 4. Grades

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15.04.2011, 20:54	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung 4. Grades Hallo, steh grad irgendwie auf der Leitung. Habe folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} x^4 - 15x^2 + 10x + 24 = 0 \end{eqnarray}$ normalerweise würde ich für $\begin{eqnarray} x^2 = u \end{eqnarray}$ setzen, aber ich hab keine Ahnung was ich dann mit dem einfachen "10x" machen soll... ?? Bitte, bitte helft mir! =)
15.04.2011, 20:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei solchen Gleichungen rät man eine Lösung und führt eine Polynomdivision durch. Deswegen müssen die Nullstellen "schöne" sein, denn sonst würdest du die Aufgabe nicht bekommen. Und in der Tat, sie sind schön. Setz mal 0,1,2,-1,-2 ein ...
15.04.2011, 21:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung 4. Grades Wenn eine ganzzahlige Nullstelle existiert so ist diese bereits Teiler des Absolutgliedes, also einfach einmal die Teiler von 24 durchgehen und schauen, ob man eine Nullstelle findet. Wenn nicht helfen Näherungsverfahren, ich bin mir aber ganz sicher, dass du da etwas findest. Edit: @Cel: Sorry, hab deine Antwort nicht in der Vorschau gesehen.
15.04.2011, 21:26	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^4 - 15x^2 + 10x + 24 : (x-2) = \end{eqnarray}$ ??? Wenn das stimmt scheitere ich trotzdem an der Lösung =(
15.04.2011, 21:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 2 als Nullstelle hast du richtig erkannt, woran scheitert es denn nun?
15.04.2011, 23:42	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
ich finde keinen Lösungsweg, bin leider nicht wirklich mit der Polynomdivision vertraut. Ich denke mal dass ich mit "x^2" anfangen muss, denn "x^3" geht ja nicht, oder? vl. kannst du mir das ergebnis hinschreiben, vielleicht wird mir der Lösungsweg dann klar...?
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15.04.2011, 23:49	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Link solltest du kennen: Klick.
15.04.2011, 23:57	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, danke! Habs grad durchgerechnet, jetzt ist mir so einiges klar =)
17.04.2011, 22:01	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute, könnte bitte jemand kontrollieren ob mein Ergebnis korrekt ist bzw.brauch ich bei der Kurvendiskussion ja in diesem Fall ein x^2 vorne um x berechnen zu können, muss ich dann nochmal die Polynomdivision 3. Grades durchführen oder gibt's da eine einfachere Methode?? Hier meine Rechnung: $\begin{eqnarray} (-1,125x^4 + 3,5x^3 - 6x + 2) : (x - 2) = -1,125x^3 + 1,25x^2 + 2,5x - 1 \end{eqnarray}$
17.04.2011, 22:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man alle Teiler von 24 durchgeht, also alle Teiler des Absolutgliedes betrachtet, so erhält man bei dieser Funktion alle 4 Nullstellen, denn jede ist ganzzahlig. Also einfach mal die Teiler von 24 betrachten, so viele sind es ja nicht und einsetzen.
17.04.2011, 22:05	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum 24? (steh irgendwie auf der Leitung)
17.04.2011, 22:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung 4. Grades Oh sorry, ich hab noch die erste Funktion betrachtet, entschuldige, bin durcheinander gekommen. Jap, nun wieder eine Nullstelle durch einsetzen bestimmen. Man kann auch am Anfang zwei Nullstellen durch einsetzen bestimmen und dann durch ein quadratisches Polynom teilen.
17.04.2011, 22:11	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
egal.. hab bei der Polynomdivision 3. Grades wieder die Nullstelle 2 (wie bei der 4. Grades) ist das normal bzw. gebe ich dann nur 3 Nullstellen an?
17.04.2011, 22:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst, wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind einfach die Teiler des Absolutgliedes, also des Koeffizienten von x^0 betrachten, wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, so sind sie Teiler des Absolutgliedes. Vorher musst du bei dem Polynom $\begin{eqnarray} -\frac{9}{8}x^4+\frac{7}{2}x^3-6x+2 \end{eqnarray}$ ganzzahlige Koeffizienten "erzeugen", das ist aber recht unproblematisch, weil das Polynom die selben Nullstellen hat, wie das Polynom $\begin{eqnarray} a \cdot (-\frac{9}{8}x^4+\frac{7}{2}x^3-6x+2) \end{eqnarray}$ , also ein geeignetes a finden, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden und die Teiler des entstandenen Absolutgliedes betrachten.
17.04.2011, 22:30	choco	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs anders gerechnet, ist es richtig wenn meine Nullstellen wie folgt aussehen? N1 (2/0) N2 (-1,25/0) N3 (0,36/0)
17.04.2011, 23:25	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch die Probe machen und einsetzen. Scheint aber auch zu stimmen:

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