Beweis: Eigenraum ist UVR |
16.04.2011, 11:48 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis: Eigenraum ist UVR Meine Aufgabe: Zeigen Sie: Sei A ; ein Eigenwert von A. Dann gilt: E(A; ) ist ein Untervektorraum. Meine Ideen: Mein Lösungsansatz wäre ein Beweis mit den Untervektorraumaxiomen (UVR1) - (UVR3): (UVR1): leere Menge leere Menge (UVR2): (Abgeschl. bezügl. Addition) (UVR3): (Abgeschl. bezügl. Multiplikation mit Skalaren) Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt? |
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16.04.2011, 11:54 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast die zu zeigenen Kriterien aufgeschrieben, einen Beweis hast du aber nicht geführt. Woher kommt die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition? Was soll bedeuten? Warum soll im Eigenraum liegen? Du hast bisher überhaupt nichts davon gezeigt. |
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16.04.2011, 11:58 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da sehe ich keinen Beweis, du schreibst das, was du beweisen sollst, als Beweis selbst auf. Und dann belegst du auch Lambda doppelt: Einmal ist das der Eigenwert, einmal ein beliebiger Skalar. Zu Punkt 1. Du schreibst, der UVR ist keine leere Menge, weil eben der Vektor drin ist. Du solltest hier einen konkreten Vektor angeben. Es gibt einen bestimmten Vektor, der per definitionem da drin liegt. Zu Punkt 2 und 3. Hier musst du sauber trennen, was du weißt und was du zeigen sollst. Du hast zwei Vektoren x und y, die in E liegen. Was heißt das denn überhaupt? Was musst du zeigen? Beachte, was es heißt, Eigenvektor zum Eigenwert Lambda zu sein. Und wie gesagt, nimm für Punkt 3 lieber statt . Edit: Ah, da war mein Text zu lang. Iorek macht dann mal weiter. |
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16.04.2011, 12:50 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok also zu punkt 1: meinst du ich soll sagen dass der nullvektor nach definition enthalten ist? also dann so: leere Menge könntet ihr mir sagen ob das jetzt erstmal so richtig ist bevor ich dann mit punkt 2 weitermache ? |
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16.04.2011, 12:59 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, der Nullvektor muss zwingenderweise enthalten sein, damit es sich überhaupt um einen Unterraum handeln kann. Ich würde vielleicht noch dazuschreiben, wie die Menge überhaupt aussieht, welche Bedingung müssen die enthaltenen Elemente erfüllen? Wenn du das noch dazu schreibst, wäre der Nachweis des ersten Kriteriums in Ordnung (ich gehe mal davon aus, dass du gemeint hast und nicht ). |
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16.04.2011, 13:07 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
oh ja das meinte ich natürlich das schreibe ich noch dazu falls du das meinst: {} ? und könnte ich dann bei punkt 2 so argumentieren: (Abgeschl. bezügl. Addition) da und |
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16.04.2011, 13:12 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Vollständigkeit halber solltest du links noch hinzufügen, ansonsten ist das der richtige Gedanke. Die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation sollte damit jetzt auch leicht sein. |
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16.04.2011, 13:17 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich muss sagen bei punkt 3 bin ich mir jetzt nicht so sicher ich würde sagen da und dann deswegen ?? |
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16.04.2011, 13:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fast. Es sei und . Du musst zeigen, dass dann auch ist, also . |
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16.04.2011, 13:37 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
du meinst ich soll nur statt schreiben: ? |
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16.04.2011, 13:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das meine ich nicht. Du sollst begründen, warum für jedes diese Gleichung gilt. Wir wissen bisher nur, dass für ist, jetzt multiplizieren wir den Eigenvektor mit einem Skalar, warum ist das dann auch wieder ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert, d.h. warum ist ? |
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16.04.2011, 15:27 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
aber wie kann ich das beweisen ? |
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16.04.2011, 15:30 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fang an mit und forme das so um, dass du auf kommst. Im Prinzip hast du so etwas ähnliches auch schon gemacht, du musst es nur richtig ordnen und aufschreiben. |
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16.04.2011, 15:40 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
also das wäre dann ja: |
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16.04.2011, 15:43 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du noch eine Erläuterung zu den Umformungen gibst (warum darfst du das machen?), wäre die Aufgabe erledigt. |
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16.04.2011, 15:47 | schweizerkäse | Auf diesen Beitrag antworten » |
gut mache ich vielen dank |
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