Parallelogrammidentität mit Normen

16.04.2011, 11:52	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelogrammidentität mit Normen Hey, habe eine etwas umfassendere Aufgabe: Sei \|\|.\|\| eine Norm auf einem reellen Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Und es gilt die Parallelogrammidentität $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|^2 + \|\|x-y\|\|^2 = 2(\|\|x\|\|^2 + \|\|y\|\|^2) \end{eqnarray}$ i) Wenn ein Skalarprodukt auf V mit $\begin{eqnarray} (.,.) = \|\|.\|\|^2 \end{eqnarray}$ existiert, dann gilt die Parallelogrammidentität. ii) Wenn eine Norm \|\|.\|\| von einem Skalarprodukt (.,.) abgeleitet ist, in dem Sinne, dass gilt $\begin{eqnarray} (x,x) = \|\|x\|\|^2, x \in V \end{eqnarray}$ , so gilt die Beziehung $\begin{eqnarray} (x,y) = \frac{1}{4} (\|\|x+y\|\|^2 - \|\|x-y\|\|^2) \end{eqnarray}$ Zu i) Meine Lösung wäre: $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|^2 + \|\|x-y\|\|^2 = (x+y,x+y) + (x-y,x-y) = (x,x+y) + (y,x+y) + (x,x-y) - (y,x-y)<br /> = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) + (x,x) - (x,y) - (y,x) + (y,y) = 2(x,x) + 2(y,y)<br /> = 2(\|\|x\|\|^2 + \|\|y\|\|^2) \end{eqnarray}$ Zu ii) Ich komme nicht drauf wie ich von (x,y) über die Prämisse $\begin{eqnarray} (x,x) = \|\|x\|\|^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} (\|\|x+y\|\|^2 - \|\|x-y\|\|^2) \end{eqnarray}$ komme.. Bitte um Hilfe
16.04.2011, 19:14	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu ii) Du könntest auch versuchen, die Gleichung von rechts nach links zu beweisen - wenn du das versuchst, schiele mal in die Aufgabenstellung und multipliziere aus und so..
19.04.2011, 10:05	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
habs, danke!

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