lineare (Un)Abhängigkeit Exponentialfunktion

16.04.2011, 12:32	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare (Un)Abhängigkeit Exponentialfunktion hallo, ich versuche gerade herauszufinden, ob die drei Funktionen $\begin{eqnarray} f,g,h : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(t):=e^{-t} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g(t):=e^{-3t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(t):=e^{-2t} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind, oder nicht. die lineare Unabhängigkeit der Funktionen muss ja an jeder Stelle gelten, also insbesondere auch für $\begin{eqnarray} t:=0 \end{eqnarray}$ . Dann würde ich mit dem üblichen Ansatz für lineare Unabhängigkeit folgendes erhalten: $\begin{eqnarray} a_1 f + a_2 g + a_3 h = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> a_1+a_2+a_3=0 \end{eqnarray}$ für t=0. Das bedeutet aber, dass $\begin{eqnarray} a_1 e^0 +a_2 e^0 = -a_3 e^0 \end{eqnarray}$ gilt, und somit wären die Funktionen, zumindest an der Stelle 0, linear abhängig. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, ob dies bereits reicht, damit die Funktion an allen Stellen linear abhängig ist. Kann mir jemand weiter helfen? danke schonmal im voraus.
16.04.2011, 13:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} a_1f+a_2g+a_3h=0 \end{eqnarray}$ gilt, so gilt dies insbesondere an den Stellen $\begin{eqnarray} t=0, t= - \ln 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t = -\ln 3 \end{eqnarray}$ . Setzte also diese 3 Stellen ein und zeige, dass schon bei diesen 3 Stellen nur $\begin{eqnarray} a_i=0 \end{eqnarray}$ für alle i möglich ist. Es gibt übrigens keine lineare Abhängigkeit an irgendeiner Stelle. Entweder sind die Funktionen linear abhängig oder eben nicht.
16.04.2011, 14:20	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, habs hinbekommen

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