Richtungsableitungen

16.04.2011, 12:45

terri

Richtungsableitungen

Hi,

ich habe hier folgende Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y):= \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} \end{eqnarray*}$ außer im Punkt (0,0), da sei Sie Null.

a) Zeigen Sie das alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.

b) Untersuchen Sie f auf Stetigkeit im Punkt (0,0)

Meine Ideen:

Soweit ich es überblicke, habe ich für a) 2 Möglichkeiten: Entweder ich zeige, dass die Ableitung existiert und schließe dann mit einem gegeben Satz aus der Vorlesung auf die Existenz aller Richtungsableitungen, oder ich beweise es "direkt".

Da ich mit der Definition der Ableitung nicht besonders weit gekommen bin, habe ich es wie folgt versucht.

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ beliebig, $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0}f[(0,0)+tz] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0}f(tz) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0}\frac{t^3 z_x z^2_y}{t^2 z^2_x + t^4 z^4_y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0}\frac{t z_x z^2_y}{z^2_x + t^2 z^4_y} \end{eqnarray*}$

an dieser Stelle habe ich dann eine Fallunterscheidung gemacht:

Für $\begin{eqnarray*} z = (0,0) \end{eqnarray*}$ existiert die Richtungsableitung ja immer.

Für $\begin{eqnarray*} z_x \ne 0 \end{eqnarray*}$ kann ich ja den Grenzwert ausführen und komme auf $\begin{eqnarray*} =\frac{0}{z^2_x}=0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} z_x = 0 \end{eqnarray*}$ würde sich ergeben $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0}\frac{0}{t z^4_y} = 0 \end{eqnarray*}$

Die Richtungsableitungen würden also existieren, und wären in alle Richtungen 0? Stimmt das?

zu b)

Ich würde jetzt schlußfolgern, dass die Funktion an der Stelle (0,0) differenzierbar ist, und deswegen hier auch stetig sein muss.

PS: Ich war so klug übers Wochenende zu meinen Eltern zu fahren und hab die Aufzeichnungen aus der Vorlesung bei mir gelassen.... Finger1

16.04.2011, 13:10

tmo

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Du musst $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(tz)-f(0)}{t} \end{eqnarray*}$ berechnen. Du berechnest auf jeden Fall irgendwas anderes verwirrt

Diese Funktion ist übrigens im Nullpunkt nicht differenzierbar, d.h. die musst bei der b) sowieso explizit auf Stetigkeit überprüfen, dir wird nichts anderes übrig bleiben. Aber es ist gar nicht so schwer, wenn man mal genau hinschaut.

16.04.2011, 14:30

terri

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Öhm, wäre nett wenn du mir sagen könntest wo ich da ganz genau hinsehen muss...

aber da $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ , sollte das keinen großen Unterschied in meiner Rechnung machen.

€dit: Ziehe die obere Aussage zurück, also alles auf Anfang und noch einmal.

16.04.2011, 14:34

tmo

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Zitat:

Original von terri
aber da $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ , sollte das keinen großen Unterschied in meiner Rechnung machen.

Und das man durch t teilt, ist irrelevant? verwirrt

16.04.2011, 14:37

terri

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Ja das habe ich eine Minute später auch gemerkt, deswegen der Edit meines Posts^^

...

muss leider jetzt los, werde mich erst morgen weiter damit rumschlagen können.

Danke tmo!

19.04.2011, 19:58

terri

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Ich grabe den Thread noch mal aus - deswegen auch der Doppelpost, sorry dafür.

Hab jetzt den korrekten Grenzwert gebildet, und komme nun auf
$\begin{eqnarray*} \frac{z^2_y}{z_x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z_x \ne 0 \end{eqnarray*}$
und auf 0 für $\begin{eqnarray*} z_x = 0, z_y \ne 0 \end{eqnarray*}$

Für die Stetigkeit habe ich mir eine Folge definiert:
$\begin{eqnarray*} a_n = (n^{-2}, n^{-1}) \forall n > 0 \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \frac{1}{2} \ne f(0,0) = (0,0) \end{eqnarray*}$
f ist also nicht stetig

Was mich verwirrt, ist die Tatsache, dass ich bei den Richtungsableitungen auf Skalare gekommen bin, obwohl bei einer Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Ableitung doch ein Vektor $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sein müsste? Wie gesagt es verwirrt mich.

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