Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe

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Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Hallo, habe mal wieder Probleme bei einer Aufgabe:

Gegeben sei:





Und die Punkte:







Satz 1 siehe Anhang.

Berechnen Sie und schätzen Sie den Fehler unter Verwendung des Satzes 1 ab.

Lösung:







Aus Satz 1:

(1.1)

Noch die einzelnen Bestandteile berechnen:









Ist das so richtig?:

, da im Intervall

Eingesetzt in (1.1) ergibt sich also:



Somit:

Die rechte Seite ist doppelt so groß

Stimmt die Aufgabe so oder haben sich Fehler eingeschlichen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
code:
1:
 p_ 2(x)=         + 1 * x^0     - 6 * x^1     + 7 * x^2   


[attach]19099[/attach]

Zunächst mal bleibt zu merken, dass 3 nicht in [0,2] liegt, wo man das IP berechnet hat. Es wird hier also extrapoliert. Dazu sind Polynome mit äuqidistanten Stützstellen i.d.R. nicht geeignet.

Ich denke, du solltest genau das in der Aufgabe einsehen. Dazu musst du bei der Fehlerformel aber auch in [0,2] bleiben. Wink
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Ja das klingt logisch, aber ich soll ja abschätzen.

Meine Frage ist jetz muss ich also:



und

, da im Intervall

anstatt



und

, da im Intervall


Weil mein IP nur von [0,2] definiert ist und 3 ausserhalb liegt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Zitat:
Berechnen Sie und schätzen Sie den Fehler unter Verwendung des Satzes 1 ab.


Der Satz ist ja auf [0,2] angepasst. Die Aufgabe ist da schon was doof formuliert, was man nun angleichen soll. Denn hängt ja von ab, auch wenn das aus der Notation nicht immer hervorgeht.

Kannst du vor der Abgabe noch den Assistenten fragen? Ansonsten würde ich sagen: Mach deutlich, dass hier Extrapolation vorliegt, die Formel aus dem Satz also nicht geeignet ist zur Abschätzung und du die Aufgabe "trotzdem" anwenden nun so .... interpretierst.

Vielleicht 2 Varianten:

Schätze für alle x aus [0,2] den IP-Fehler ab. Maximum nehmen. => Vergleiche mit IP-Fehler bei x=3 => Extrapolation ungeeignet.

Ersetze konsequent alles durch x=3, wie du es gemacht hast => Abschätzungsformel klappt auch außerhalb [0,2] => Ob das allgemeingültig ist, kann ich im Moment nicht sagen.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Soweit ich dich verstanden habe:

Ich sage es liegt hier eine Extrapolation vor, da 3 außerhalb von [0,2] liegt.
Ich lasse meine Berechnung wie sie oben ist und sage hinterher die Fehlerabschätzung ist hier ungeeignet, da 3 nicht in [0,2] liegt und mache später noch eine 2. Variante mit x=2.

Oder muss ich bei obiger Rechnung bei x=3 die Zeile

, da im Intervall

und



schon durch

, da im Intervall

und



ersetzen? Da 3 ausserhalb von 2 liegt?



Und zur späteren nochmaligen Rechnung mit x=2: Also ersetze ich dabei alles konsequent durch x=2:

innerhalb des Intervalles [0,2]







, da im Intervall

Eingesetzt in (1.1) ergibt sich also dabei:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Zitat:
Original von Mads85
Soweit ich dich verstanden habe:

Ich sage es liegt hier eine Extrapolation vor, da 3 außerhalb von [0,2] liegt.
Ich lasse meine Berechnung wie sie oben ist und sage ...


Dass die Abschätzung stimmt (Zufall? ), die Formel dafür aber nicht gemacht ist. Ich kann dir daher nicht sagen, ob das immer klappt [und habe im Moment nicht die Zeit darüber nachzudenken ... Ups ]

Dann schätzt du den Maximalen Fehler ab, wenn x aus [0,2] stammen würde [nicht x=2 nehmen!] und vergleichst das mit dem Extrapolationsfehler => Ip ist also nicht dazu geeignet, um Funktionswerte außerhalb zu approximieren.

Melde dich bitte zurück, was die Aufgabensteller bei dieser Wortwahl "eigentlich" hören wollten.
 
 
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Was ist bei dir im Bild die V-Funktion?

Ich habe das mal mit Winplot gezeichnet und bekomme ein etwas anderes Bild.

Rot ist das IP:

und schwarz:

Oder hast du für die V-Funktion was anderes eingegeben und wenn ja was und warum?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
V ist f

Er zeigt IP und f. Was zeigt dein Plot?
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Hab das jetz mal für 1,5 durchgerechnet:








Aus Satz 1:

(1.1)

Noch die einzelnen Bestandteile berechnen:









Ist das so richtig?:

, da im Intervall

Eingesetzt in (1.1) ergibt sich also:



Stimmt ja nicht obwohl 1,5 aus [0,2] stammt oder muss ich da den Betrag von |-3| nehmen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Wieso x=1.5? Du solltest über alle x aus[0,2] abschätzen... Eben grob uns losgelöst... Augenzwinkern
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Wie über alle? Wie geht das? Ich dachte irgend nen Wert zwischen 0 und 2 nehmen?
Warum stimmt das nicht obwohl 1,5 aus [0,2] stammt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Weil wir bei Variante 2 den Maximalen Fehler abschätzen wollen. Und da eben "Maximum des Knotenpolynoms" mal "Maximum der Ableitung".


Und was heißt stimmt nicht bei x=1.5? Du darfst ja rechts auch nicht ohne Beträge arbeiten... Die Formel aus eurem Satz steht für "=", daher ohne Betrag. Beim Abschätzen ist das fatal, denn was, wenn das IP oberhalb von f an der Stelle verläuft .... Dann stimmt das nicht, wie du gesehen hast.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Zitat:
Original von tigerbine
Und was heißt stimmt nicht bei x=1.5? Du darfst ja rechts auch nicht ohne Beträge arbeiten... Die Formel aus eurem Satz steht für "=", daher ohne Betrag. Beim Abschätzen ist das fatal, denn was, wenn das IP oberhalb von f an der Stelle verläuft .... Dann stimmt das nicht, wie du gesehen hast.


Das wollt ich wissen! Danke.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Zitat:
Original von tigerbine
Weil wir bei Variante 2 den Maximalen Fehler abschätzen wollen. Und da eben "Maximum des Knotenpolynoms" mal "Maximum der Ableitung".


Soll das bedeuten ich muss das Maximum von durch Extremwertbestimmung ermitteln und mit dem Maximum von multiplizieren? Weil ich weis nicht wie ich den maximalen Fehler abschätzen kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Aufgabe 2b als Vergleich. [Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Also wenn ich das richtig verstanden habe:

Untersuchung im Intervall [0,2]:





Maximierung der Koeffizienten:





Maximum:



D.h. der abgeschätzte Fehler in [0,2] ist mit dem Wert 32 maximal.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Problem bei Aufgabe
Knotenpolynom:



Das betragsmäßige Maximum ist doch kleiner als 0.5. Die Ränder zu nehmen ist schon sehr grob, ich dachte in der verlinkten Aufgabe wäre das mit Kurvendiskussion gewesen...

Analog Kurvendiskussion für die Ableitung.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe eine ähnliche Aufgabe in einer alten Klausur gefunden. Die Lösung dazu habe ich auch (siehe Anhang). Ich denke meine allererste Lösung (Extrapolation) von hier müsste demnach richtig sein? Da bei dieser Klausuraufgabe das Polynom nur von [0,2] definiert ist und in x=-1 abgeschätzt werden soll.

Gegeben war:

ist das Interpolationspolynom durch die Knoten 0,1,2







tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss sagen, der Sinn des ganzen entzieht sich mir. Es wird ein Satz "manipuliert", um dann eine Abschätzung zu bekommen für einen Fehler, den man berechnet hat.

Sinn macht das ganze nur, wenn man - nicht im Beipsiel - argumentiert, dass man die Formel aus Satz 1 immer in dieser Art mißbrauchen kann, dass die Abschätzung groß genug ist.

Welches Fazit soll man denn aus der Aufgabe ziehen... Die Formel geht auch für Extrapolation? ggf. schätzt sie aber viel zu groß ab? Was will ich dann mit ihr anfangen. Gerade wenn ich f nicht auswerte sondern mich auf die Abschätzung verlasse ...

Die Aufgabenstellung ist mir so nie begegnet, daher war mir nicht klar, dass ihr das "immer so macht". Ich kenne nur den Hinweis "zur Extrapolation ungeeignet" und Fehlerformel wurde immer nur auf dem Intervall verwendet.

Für deine Übung hast du die Lösung. Vielleicht kannst du die Motivation erfragen und hier melden. Augenzwinkern
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Für deine Übung hast du die Lösung. Vielleicht kannst du die Motivation erfragen und hier melden. Augenzwinkern


Natürlich werd ich das machen! Gehe nach der nächsten Vorlesung kurz zum Prof.!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke und hoffentlich viele Punkte. Wink
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab heute mal direkt beim Prof. nachgefragt. Meine Abschätzung stimmt hier. Der Aha-Effekt soll sein, dass man die Formel zum Extrapolieren verwenden kann, jedoch einen größeren Fehler beim abschätzen macht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch 10 immer als Approximation nehmen. Der Fehler wird in den meisten Fällen auch groß sein. Big Laugh

Neuer Blickwinkel auf die Extrapolation. Neben dem i.A. großen Fehler ist die Fehlerabschätzung schon sehr groß.

Danke für die Rückmeldung. Freude
ShadowX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mads85
Habe eine ähnliche Aufgabe in einer alten Klausur gefunden. Die Lösung dazu habe ich auch (siehe Anhang). Ich denke meine allererste Lösung (Extrapolation) von hier müsste demnach richtig sein? Da bei dieser Klausuraufgabe das Polynom nur von [0,2] definiert ist und in x=-1 abgeschätzt werden soll.

Gegeben war:

ist das Interpolationspolynom durch die Knoten 0,1,2









Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich habe die auch gerade gerechnet, aber für n=3 angenommen... Kann mir einer erklären, warum n=2 ist bzw. allgemein welchen Wert n immer annimmt?

Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil man bei 0 beginnt zu zählen. Augenzwinkern
ShadowX Auf diesen Beitrag antworten »

Also richtet sich das n nach den Wertepaaren aus? Da hier 3 Wertepaare vorgegeben sind nimmt man n=2? Was ist mit dem Wertepaar x=-1 f=4 ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ShadowX
Was ist mit dem Wertepaar x=-1 f=4 ?


Wo kommt das denn vor?
ShadowX Auf diesen Beitrag antworten »

Na man muss doch den Fehler in x= -1 abschätzen.?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das hat doch nichts damit zu tun, durch welche Punkte das IP gelegt wird. Eine Fehlerberechnung macht auch nur in einem nichtinterpolierten Punkt Sinn.
ShadowX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke.
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