Einseitige Diff'barkeit

16.04.2011, 12:54

antwortsucher

Einseitige Diff'barkeit

Meine Frage:
Hallo

ich habe eine Frage zur einseitigen Diff'barkeit der Funktion f(x)=x^2*[x].
Ich hab einfach keine Ahnung wie ich die links- bzw rechtsseitige diff'barkeit zeigen soll, da die Funktion an allen Stellen x element R\(Z\{0}) nicht differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Da in der aufgabenstellung steht: In welchen Punkten x ele R ist f diff'barr, rechtsseitig-, linksseitig, bin ich mir nun nicht ganz sicher ob ich das überhaupt zeigen muss, da die Funktion an unendlich vielen Stellen nicht stetig ist.

danke

16.04.2011, 16:32

tigerbine

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RE: Einseitige Diff'barkeit

Zitat:

Original von antwortsucher
da die Funktion an unendlich vielen Stellen nicht stetig ist.

Naja, dass heißt ja nicht, dass sie auch einseitig nicht differenzierbar sein muss. Und das sollst du untersuchen. Die Problematik steckt in[x]. Schreibe die Funktion also Intervallweise auf, ohne [x] und untersuche dann die einseitigen Differenzialquotienten.

17.04.2011, 12:32

Wraith720

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Hm, ich denke doch, dass dir Funktion in allen Punkten $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ diff'bar ist. Denn wenn $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 x = x^3 \end{eqnarray*}$ . Also ist g diff'bar für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist die Frage was für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R\setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist. Und da hänge ich auch.

Kann da jemand weiterhelfen?

17.04.2011, 15:00

tigerbine

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Wie kommst du auf diese Menge der undifferenzierbaren Punkte... verwirrt

17.04.2011, 15:41

Wraith720

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Hm, funktioniert das so nicht? Dann bin ich jetzt ganz aufgeschmissen... Kannst du mir nen Ansatz geben mit dem ich weiterkommen kann. Ich weiß grad echt nicht wie ich das Ganze anpacken soll...
Wäre echt dankbar!

SG

17.04.2011, 15:47

tigerbine

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Den Tipp gab ich schon, du sollst [x] auflösen. Wo ist da da denn die Fallgrenze...
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fklammer

Und wie kann man f dann schrieben, auf (0,2)?

17.04.2011, 16:00

Wraith720

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Na ja, wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ganzahlig ist und man sich von links annähert, dann erhält man doch $\begin{eqnarray*} x_0^2(x_0-1) \end{eqnarray*}$ und von rechts $\begin{eqnarray*} x_0^2 x_0 \end{eqnarray*}$
oder sehe ich das falsch. Heißt das dann schon das für ganzahlige x die Funktion nicht differenzierbar ist?

17.04.2011, 16:06

tigerbine

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Zitat:

Hm, ich denke doch, dass dir Funktion in allen Punkten $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ diff'bar ist.

Zitat:

eißt das dann schon das für ganzahlige x die Funktion nicht differenzierbar ist?

Das ist aber nun doch eine ganz neue Aussage. Augenzwinkern

An der solltest du arbeiten. Und mit Grenzwerten deine These prüfen/belegen.

17.04.2011, 16:26

Wraith720

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Ok, das hört sich ja schon mal an als wäre auf dem richtigen Weg.
Muss ich jetzt die Def. der Differenzierbarkeit herannehmen? Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

17.04.2011, 16:32

tigerbine

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Ist das einseitig formuliert?

17.04.2011, 17:00

Wraith720

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Also die Def ist so: Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ , dann ist f in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ diff'bar.
Stimmt das hier?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{x^2 x_0 - x_0^3}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{(x-x_0)(x+x_0) x_0}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^+} (x+x_0) x_0 = 2x_0<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^-} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{x^2 (x_0 - 1) - x_0^3}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{x^2 x_0 - x^2 - x_0^2 x_0}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{x_0 (x-x_0) (x+x_0) -x^2}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0^-} x_0 (x+x_0) \frac{x^2}{x-x_0} = 2x_0^2 - \lim_{x \to x_0^-} \frac{x^2}{x-x_0} = 2x_0^2 - 2x_0<br /> \end{eqnarray*}$

Das letzte Gleich hab ich mit l'Hopital ermittelt...

Und da die beiden Grenzwerte nicht gleich sind ist g für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht diff'bar.

Ist das so ok?

17.04.2011, 17:10

tigerbine

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Die zweite Rechnung ist mit nicht klar. Aber wenn du die Funktion mit Fallunterscheidung aufschreibst, so besteht sie doch Stückweise aus diffbaren Funktionen, und wir müssen und hier nicht nochmal durch die Herleitung der Ableitungsregeln für Polynomfunktionen quälen.

Zitat:

Und da die beiden Grenzwerte nicht gleich sind ist g für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht diff'bar.

Mmh, für alle ganzen Zahlen...

17.04.2011, 17:16

Wraith720

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Na ja, außer Null...

17.04.2011, 17:17

tigerbine

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Eben.

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