Ungleichung 1 - 1/x < log(x) < x - 1

16.04.2011, 13:10	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung 1 - 1/x < log(x) < x - 1 Hallo, ich habe ein Problem wie ich folgende Ungleichung für ein x > 0 zeigen soll: $\begin{eqnarray} 1 - 1/x <= log(x) <= x - 1 \end{eqnarray}$ Die Identität gilt ja offenbar für x =1, ich habe mir schon überlegt, dass man es über die Ableitungen machen könnte, wenn ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} f(0) = g(0) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} f'(x) < g'(x) \forall x > 0 \end{eqnarray}$ Aber damit komme ich irgendwie nicht so auf einen grünen Zweig, denn offenbar ist log(0) nicht definiert..
16.04.2011, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kennst du ja schon $\begin{eqnarray} x+1 \leq e^x \end{eqnarray}$ für alle x und $\begin{eqnarray} e^x \leq \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ für x < 1 Dann kannst du die zu zeigende Ungleichung leicht folgern. Der Ansatz über Ableitungen geht aber auch. Betrachte die Funktionen $\begin{eqnarray} f_1(x)=\ln(x)-(1-\frac{1}{x}), f_2(x)=x-1-\ln(x) \end{eqnarray}$ und zeige: 1. $\begin{eqnarray} f_1(1)=0=f_2(1) \end{eqnarray}$ 2. Sowohl $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ nehmen auf $\begin{eqnarray} \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ ihr globales Minimum bei 1 an. Dafür kannst du dann die Ableitung benutzen.
16.04.2011, 13:40	gast_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ich werde das dann mal auf diese Art versuchen - werde mich ggf. später nochmal melden.

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