Rechtsseitiger Signifikanztest

16.04.2011, 13:21

Daniel1

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Rechtsseitiger Signifikanztest

Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Eine Autofabrik behauptet das von 100 Autos maximal 3% einen Fehler aufweisen.
Der misstrausche Händler vermutet das es mehr als 3% sind.

H0: p=0,03
H1: p>0,03

Der Annahmebereich der Nullhypothese wäre wohl {0, 1, 2, 3}
Der Ablehnungsbereich {4, 5, 6, ... 100}

Sprich: Ab 4 Fehlerhaften Autos müsste die Nullhypothese abgelehnt werden.

Wenn man nun den Fehler 1. Art berechnet (H0 wird abgelehnt obwohl sie wahr ist) mit einem Signifikanzniveau von 5% dann müsste der

Annahmbereich {0, ..., 6} sein
und der Ablehnungsbereich {7, ..., 100}

Der Fehler 1. Art wäre doch dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten im Ablehnungsbereich, was in diesem Fall ja 93% wären!

Kann das wirklich stimmen? Wird der Fehler 1. Art so wahrscheinlich eintreten?
Oder hab ich irgendwo einen Fehler gemacht, denn mir erscheint das nicht ganz einleuchtend.

MfG

16.04.2011, 20:47

Zellerli

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Der Fehler erster Art wäre, dass $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ vorliegt, der Test dich aber zur Ablehnung veranlasst.
Wenn er unter 5% liegen soll, bedeutet das:

Bei einem vorliegenden Anteil von 3% müsste die Wahrscheinlichkeit x oder mehr fehlerhafte Autos in der 100er-Stichprobe zu haben kleiner 5% sein.

Nun musst du x so bestimmen, dass dies der Fall ist.

Habe nich nachgerechnet. 0-7 und 8-100 kann schon stimmen. Aber besser du überprüfst nochmal deinen Rechenweg, denn mir kommt es so vor, als würdest du die Wahrscheinlichkeiten allein aus dem Annahme- und Ablehnungsbereich ableiten. Aber das ist Unfug, weil es die vorliegenden Wahrscheinlichkeiten (tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Mangel, Fehlerwahrscheinlichkeit) außer acht lässt.

17.04.2011, 21:22

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli
Der Fehler erster Art wäre, dass $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ vorliegt, der Test dich aber zur Ablehnung veranlasst.
Wenn er unter 5% liegen soll, bedeutet das:

Bei einem vorliegenden Anteil von 3% müsste die Wahrscheinlichkeit x oder mehr fehlerhafte Autos in der 100er-Stichprobe zu haben kleiner 5% sein.

Nun musst du x so bestimmen, dass dies der Fall ist.

Habe nich nachgerechnet. 0-7 und 8-100 kann schon stimmen. Aber besser du überprüfst nochmal deinen Rechenweg, denn mir kommt es so vor, als würdest du die Wahrscheinlichkeiten allein aus dem Annahme- und Ablehnungsbereich ableiten. Aber das ist Unfug, weil es die vorliegenden Wahrscheinlichkeiten (tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Mangel, Fehlerwahrscheinlichkeit) außer acht lässt.

Hallo, nein das habe ich so nicht abgeleitet, ich habe es richtig gerechnet und überprüfen lassen (stimmt).

Nur wir haben gelernt das der Fehler erster Art ist, das H0 richtig ist, aber dennoch abgelehnt wird!

Und meinem Rechenweg zufolge zu 93%, das kann doch nicht sein!

17.04.2011, 22:59

Zellerli

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Dein Rechenweg muss falsch sein. Poste ihn doch mal...

Wenn 3% vorliegen, dann kommen niemals 8 oder mehr in der 10er Stichprobe mit 93% Wahrscheinlichkeit raus...

18.04.2011, 09:03

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli
Dein Rechenweg muss falsch sein. Poste ihn doch mal...

Wenn 3% vorliegen, dann kommen niemals 8 oder mehr in der 10er Stichprobe mit 93% Wahrscheinlichkeit raus...

Hallo, es ist eine 100derter Stichprobe! Hier mal der Rechenweg:

H0: p=3%
H1: p>3%

->rechtsseitiger Signifikanztest

Annahmebereich der Nullhypothese:
A= {0; 1; 2; ...; a}

Ablehnungsbereich:
$\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ ={a+1; a+2; ...n}

Fehler 1. Art ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ') berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten im Ablehnungsbreich

hier:

$\begin{eqnarray*} \alpha{'} = \sum_{i=a+1}^{100} B (100; 0,03; i) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} B (100; 0,03; k \le a+1) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 1 - B (100; 0,03; k) \end{eqnarray*}$

= 1 - $\begin{eqnarray*} F_{0,03}^{100} (a) \end{eqnarray*}$

Der Fehler a soll nun einen gewissen Prozentsatz nicht überschreiten, d.H. kleiner als ein sog. Signifikanzniveau sein! Hier: 5%

-> $\begin{eqnarray*} 1 - F_{0,03}^{100} (a) \le 0,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-0,05 \le F_{0,03}^{100} (a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,95 \le F_{0,03}^{100} (a) \end{eqnarray*}$

bzw.:

$\begin{eqnarray*} F_{0,03}^{100} \ge 0,95 \end{eqnarray*}$

Mit dem Tafelwerk ergibt sich das a=6 ist.

maximaler Annahmbereich: A= {0; ...; 6)
maximaler Ablehnungsbereich: $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ = {7; ...; 100}

So damit würde der Ablehnungsbereich bei 7-100 liegen!

Hab ich irgendwas falsch verstanden oder falsch gerechnet?

MfG

18.04.2011, 13:19

Zellerli

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Jop, es sind 100, nicht 10. Und man lehnt bei 7 und mehr ab, nicht bei 8 und mehr. War gerade wohl woanders gehangen...

Und nein, du hast nichts falsch gemacht.
Aber bei der neuen Rechnung kommen mehr als 6 von 100 doch nur in weniger als 5% der Fälle vor, bei vorliegender 3% Mangelquote und nicht 93%.

Damit geht deine aktuelle Rechnung nicht mit der Aussage

Zitat:

Nur wir haben gelernt das der Fehler erster Art ist, das H0 richtig ist, aber dennoch abgelehnt wird!
Und meinem Rechenweg zufolge zu 93%, das kann doch nicht sein!

zusammen, denn du hast ja jetzt weniger als 5%.

Wenn du korrekt nachgeschlagen hast, stimmt deine Rechnung jedenfalls Freude

Freude

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18.04.2011, 14:17

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli
Jop, es sind 100, nicht 10. Und man lehnt bei 7 und mehr ab, nicht bei 8 und mehr. War gerade wohl woanders gehangen...

Und nein, du hast nichts falsch gemacht.
Aber bei der neuen Rechnung kommen mehr als 6 von 100 doch nur in weniger als 5% der Fälle vor, bei vorliegender 3% Mangelquote und nicht 93%.

Damit geht deine aktuelle Rechnung nicht mit der Aussage

Zitat:

Nur wir haben gelernt das der Fehler erster Art ist, das H0 richtig ist, aber dennoch abgelehnt wird!
Und meinem Rechenweg zufolge zu 93%, das kann doch nicht sein!

zusammen, denn du hast ja jetzt weniger als 5%.

Wenn du korrekt nachgeschlagen hast, stimmt deine Rechnung jedenfalls Freude

Freude

Hi,

aber ich verstehe das noch nicht so ganz (wir habne mit dem Thema erst neu angefangen)
Mit diesem Rechenweg rechne ich doch die Wahrscheinlichkeit aus das man den Fehler 1. Art begeht (H0 wird ABGELEHNT obwohl es stimmt).
Korrket wäre nach H0 (p=3%) max. 3 fehlerhafte Autos.

Also muss ich doch quasi berechnen wie wahrscheinlich es ist das man sich verzählt o.Ä.? Oder hab ich das falsch verstanden?

Und da der Ablehnungsbereich von 7-100 geht wären das ja ca. 97% oder?

MfG

18.04.2011, 16:17

Zellerli

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Bei einem Signifikanztest (egal ob links-, rechts-, beidseitig oder Alternativtest) geht es darum eine Entscheidungsregel zu formulieren, die bestimmten Anforderungen genügt.

Hier ist die Anforderung, dass der Fall, dass man fälschlicher Weise behauptet, die Mangelquote liegt über 3%, nur in höchstens 5% der Fälle vorkommen darf.
Das heißt, man berechnet die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall, abhängig von der Entscheidungsregel.
3% liegen vor. 100mal wird gezogen. Also $\begin{eqnarray*} p=0,03 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss man die Trefferanzahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden, sodass mehr als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer in höchstens 5% der Fälle vorkommen. Oder über die Gegenwahrscheinlichkeit: Dass mindestens in 95% der Fälle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer auftreten.

Achja:
Es müssen unter 100 gezogenen Autos nicht zwangsläufig 3 oder weniger sein, wenn 3% Mangelquote vorliegt.
Sonst müssten bei 10 Münzwürfen ja auch 5 oder weniger "Kopf"-Würfe vorkommen, nur weil 50% Kopf-Quote vorliegt (aber wir wissen, dass es auch zu mehr als 5 "Kopf"-Würfen kommen kann).

18.04.2011, 16:52

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli
Bei einem Signifikanztest (egal ob links-, rechts-, beidseitig oder Alternativtest) geht es darum eine Entscheidungsregel zu formulieren, die bestimmten Anforderungen genügt.

Hier ist die Anforderung, dass der Fall, dass man fälschlicher Weise behauptet, die Mangelquote liegt über 3%, nur in höchstens 5% der Fälle vorkommen darf.
Das heißt, man berechnet die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall, abhängig von der Entscheidungsregel.
3% liegen vor. 100mal wird gezogen. Also $\begin{eqnarray*} p=0,03 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss man die Trefferanzahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden, sodass mehr als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer in höchstens 5% der Fälle vorkommen. Oder über die Gegenwahrscheinlichkeit: Dass mindestens in 95% der Fälle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer auftreten.

Achja:
Es müssen unter 100 gezogenen Autos nicht zwangsläufig 3 oder weniger sein, wenn 3% Mangelquote vorliegt.
Sonst müssten bei 10 Münzwürfen ja auch 5 oder weniger "Kopf"-Würfe vorkommen, nur weil 50% Kopf-Quote vorliegt (aber wir wissen, dass es auch zu mehr als 5 "Kopf"-Würfen kommen kann).

Ok, Danke erstmal für deine Hilfe, nur wie formuliere ich jetzt konkret wie wahrscheinlich es ist das man den Fehelr 1. Art begeht?

Denn das habe ich ja (laut Lehrer) ausgerechnet.

Was also sagt mein errechneter Annahme - und Ablehnungsbereich aus. (Sorry, ich bin etwas schwer von Begriff :/

Und was meinst du mit:

Zitat:

Jetzt muss man die Trefferanzahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden, sodass mehr als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer in höchstens 5% der Fälle vorkommen.

MfG

18.04.2011, 17:18

Daniel1

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Und noch eine Ergänzung (leider kann ich den alten Beitrag nicht mehr editieren)

Ich hab mich jetzt noch einmal eingehender informiert und ich glaube ich verstehe es nun.
Aber eine Sache finde ich merkwürdig. Wenn ich bei meinem obigen Beispiel ein Signifikanzniveau = 0% verwenden würde, dann käme laut TW 12 heraus.

Meines erachtens ist ein Zufall aber erst bei 97 fehlerfreien Autos (wenn man eine Fehlerwslkeit von 3% ansetzt) wirklich absolut ausgeschlossen. !

18.04.2011, 18:20

Zellerli

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Zitat:

Wenn ich bei meinem obigen Beispiel ein Signifikanzniveau = 0% verwenden würde, dann käme laut TW 12 heraus.

stimmt nicht ganz. Es käme 0,000009875... heraus.
Auf vier Nachkommastellen gibt das gerundet 0,0000.

Der Annahme und Ablehnungsbereich an sich sagt dir garnichts aus, außer wann du annehmen und ablehnen sollst.
Du kannst daran nicht direkt irgendwelche Fehlerwahrscheinlichkeiten ablesen. Also z.B. nur weil man von 0-6 von 100 annehmen soll, ist der Fehler 1. Art 6%. Das wäre Unfug.

Zitat:

Meines erachtens ist ein Zufall aber erst bei 97 fehlerfreien Autos (wenn man eine Fehlerwslkeit von 3% ansetzt) wirklich absolut ausgeschlossen. !

Auch das geht in die falsche Richtung...
Wenn es insgesamt nur 100 Autos gibt und du ziehst eine 100er Stichprobe, stimmt das.
Aber wir setzen "unendlich viele" Autos voraus, von denen eine 100er Stichprobe gezogen wird.
Selbst wenn da kein einziges mangelhaftes drin ist, können (rein theoretisch, aber sehr, sehr unwahrscheinlich) trotzdem 3% aller Autos oder sogar 10% oder 99,99% mangelhaft sein.

Wenn du 10mal oder 100mal einen Würfel würfelst und nie eine 6 hast (obwohl eine draufsteht), würdest du doch trotzdem keine Wette um 1000 Euro eingehen, dass in den nächsten 10 Würfen keine 6 kommt.

18.04.2011, 18:34

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli

Zitat:

Wenn ich bei meinem obigen Beispiel ein Signifikanzniveau = 0% verwenden würde, dann käme laut TW 12 heraus.

stimmt nicht ganz. Es käme 0,000009875... heraus.
Auf vier Nachkommastellen gibt das gerundet 0,0000.

Der Annahme und Ablehnungsbereich an sich sagt dir garnichts aus, außer wann du annehmen und ablehnen sollst.
Du kannst daran nicht direkt irgendwelche Fehlerwahrscheinlichkeiten ablesen. Also z.B. nur weil man von 0-6 von 100 annehmen soll, ist der Fehler 1. Art 6%. Das wäre Unfug.

Zitat:

Meines erachtens ist ein Zufall aber erst bei 97 fehlerfreien Autos (wenn man eine Fehlerwslkeit von 3% ansetzt) wirklich absolut ausgeschlossen. !

Auch das geht in die falsche Richtung...
Wenn es insgesamt nur 100 Autos gibt und du ziehst eine 100er Stichprobe, stimmt das.
Aber wir setzen "unendlich viele" Autos voraus, von denen eine 100er Stichprobe gezogen wird.
Selbst wenn da kein einziges mangelhaftes drin ist, können (rein theoretisch, aber sehr, sehr unwahrscheinlich) trotzdem 3% aller Autos oder sogar 10% oder 99,99% mangelhaft sein.

Wenn du 10mal oder 100mal einen Würfel würfelst und nie eine 6 hast (obwohl eine draufsteht), würdest du doch trotzdem keine Wette um 1000 Euro eingehen, dass in den nächsten 10 Würfen keine 6 kommt.

Hi,

Danke nochmal, das mit Annahme- und Ablehungsbereich hab ich verstanden, auch der gesamte Hypothesentest ist mir nun klarer!

Nur die Sache mit dem Signifikanznvieau 0% geht mir nicht aus dem Kopf.
Besteht denn überhaupt die Möglichkeit eines Signifikanzniveaus=0?

Eigentlich nicht oder? Denn 0% würde ja einen Zufall ausschließen und das ist ja (wenn man davon ausgeht das es eine Stichprobe aus unendlich vielen ist) gar nicht möglich. Und ich gehe scheinbar mit dem TW falsch um, denn wenn ich in der Tabelle P=0,03 suche n=100 und meine Signifikanz wie oben mit $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ ' berechne, dann müsste ich in der Tafel dort suchen wo die 1 in der Summe steht. Das wären bei mir 13.

18.04.2011, 18:39

Zellerli

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Ja, aber es ist nur eine gerundete 1. Die echte 1 ist bei 0-100 Treffer von 100. Klar, denn irgendeine Trefferzahl zwischen 0 und 100 tritt garantiert ein.

Ein Signifikanzniveau von 0% ist entsprechend erreichbar!
Man nimmt die Nullhypothese einfach immer an. Also bei 0-100. Und man lehnt sie nie ab.
Wenn man sie nie ablehnt, kann man sie auch nie fälschlicher Weise ablehnen.

Aber der Fehler zweiter Art (man nimmt die Nullhypothese an, obwohl sie nicht vorliegt!) wird dann enorm groß.

18.04.2011, 19:45

Daniel1

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Zitat:

Original von Zellerli
Ja, aber es ist nur eine gerundete 1. Die echte 1 ist bei 0-100 Treffer von 100. Klar, denn irgendeine Trefferzahl zwischen 0 und 100 tritt garantiert ein.

Ein Signifikanzniveau von 0% ist entsprechend erreichbar!
Man nimmt die Nullhypothese einfach immer an. Also bei 0-100. Und man lehnt sie nie ab.
Wenn man sie nie ablehnt, kann man sie auch nie fälschlicher Weise ablehnen.

Aber der Fehler zweiter Art (man nimmt die Nullhypothese an, obwohl sie nicht vorliegt!) wird dann enorm groß.

Gut ok, das es nur eine gerundete 1 ist, das könnten die in dem TW auch mal erwähnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wenn ich 0% habe, und a damit quasi 100 wäre
also Annahmbereich 0-100
dann würde sich für den Ablehnungsbereich der ja
$\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ ={a+1; a+2; ... n} ist
$\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ ={101; 102; ... } ergeben, was ja eigentlich nicht möglich ist.

18.04.2011, 20:44

Zellerli

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Es gibt dann keinen Ablehnungsbereich, richtig.

18.04.2011, 20:45

Daniel1

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Ok, Ich danke dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hat mir wirklich weitergeholfen!

18.04.2011, 21:16

Zellerli

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Kein Ding.
Wenn du noch Fragen hast, poste ruhig. Dafür sind wir da.

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