Basis und Unterraum in R3

16.04.2011, 14:49

bauhaushali

Basis und Unterraum in R3

Meine Frage:
Hallo,

Ich sitze an einer Aufgabe bei der mir die folgenden drei Vektoren gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{v_{1}}=(1,2,t+2) \overrightarrow{v_{2}}=(-1,t+1,t) \overrightarrow{v_{3}}=(0,t,1) \end{eqnarray*}$

Teilaufgabe a) Wann bilden diese Vektoren eine Basis des R3

Teilaufgabe b) Welche Dimension hat der von v1,v2,v3 aufgespannte Unterraum Ut von R3 in Abhängigkeit von t

Meine Ideen:
Als erstes möchte ich die Teilaufgabe a bearbeiten:

Eine Basis besteht in einem Vektorraum aus der maximal möglichen Anzahl an linear unabhängigen Vektoren. Für t=-3/2 sind die Vektoren linear abhängig. Daraus kann ich aber nicht schließen, dass die Vektoren für alle anderen t eine Basis bilden, oder?

16.04.2011, 14:54

lgrizu

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RE: Basis und Unterraum in R3
Schreibe die Vektoren in eine Matrix und bringe diese mit Gauß auf Zeilenstufenform, für alle t, für die du eine Nullszeile erzeugst sind die Vektoren linear abhängig, für alle anderen t linear unabhängig.

17.04.2011, 12:43

bauhaushali

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Danke Igrizu dass du schon wieder zur Stelle bist Wink

In Zeilenstufenform müsste das hier so aussehen, an der zweiten Zeile kann ich jetzt sehen dass -3/2 eine Nullzeile erzeugt. Das bedeutet dass meine Vektoren für alle anderen t unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} \\\\\\\end{array}\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & t+3 & t & 0\\ 0 & 0 & -\frac{2t^{2}+t-3}{t+3} & 0\end{array} \end{eqnarray*}$

Ist es nun so, dass drei linear unabhängige Vektoren immer eine Basis in R3 bilden?

17.04.2011, 12:53

lgrizu

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Wie kommt denn der Bruch in der 3. Zeile zustande?

Die Nullspalte kannst du dir auch sparen.

Mache deine Zeilenumformungen einmal vor, ich hab da etwas anderes heraus.

17.04.2011, 13:17

bauhaushali

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Da war wohl ein Fehler in der Umformung, so siehts jetzt aus.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & t+1 & t\\ t+2 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

II + (-2)*I

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & t+3 & t\\ t+2 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

III-(t+2)*I

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & t+3 & t\\ 0 & 2t-2 & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

III+(2t-2)*I

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & t+3 & t\\ 0 & 0 & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Ganz sicher bin ich mir jetzt nicht mehr aber t=-3/2 erzeugt immernoch eine Nullzeile.

17.04.2011, 13:19

lgrizu

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Schreibe die Vektoren einmal als Zeilen, nicht als Spalten, wenn du Zeilenumformungen durchführst.

18.04.2011, 13:49

bauhaushali

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Ich habe es jetzt mit den Vektoren als Zeilen in der Matrix gemacht, aber ich komme wieder auf so einen komischen Bruch:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ -1 & t+1 & t\\ 0 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

II+I

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ 0 & t+3 & 2t+2\\ 0 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

III-(t/t+3)*II

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ 0 & t+3 & 2t+2\\ 0 & 0 & -\frac{2t^{2}+t-3}{t+3}\end{array} \end{eqnarray*}$

Was hat es mit dem Vektoren in Zeilen statt Spalten auf sich?

18.04.2011, 14:03

lgrizu

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Zitat:

Original von bauhaushali
Ich habe es jetzt mit den Vektoren als Zeilen in der Matrix gemacht, aber ich komme wieder auf so einen komischen Bruch:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ -1 & t+1 & t\\ 0 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

II+I

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ 0 & t+3 & 2t+2\\ 0 & t & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles okay.

Zitat:

Original von bauhaushali

III-(t/t+3)*II

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ 0 & t+3 & 2t+2\\ 0 & 0 & -\frac{2t^{2}+t-3}{t+3}\end{array} \end{eqnarray*}$

Warum multiplizierst du hier auch mit einem Bruch?

Subtrahiere das t-fache der zweiten Zeile vom (t+3)-fachen der dritten Zeile.

18.04.2011, 14:18

bauhaushali

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$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 2 & t+2\\ 0 & t+3 & 2t+2\\ 0 & 0 & -(2t^{2}+t-3)\end{array} \end{eqnarray*}$

Lösungen sind dann t=1 und t= -(3/2). Meinst du mit Nullzeile jetzt einfach das erfüllen der Gleichung? Wenn du nochmal sagen könntest, warum die Vektoren jetzt in Zeilen geschrieben worden sind, hat das überhaupt Einfluss auf die Lösung oder ist das nur eleganter umzuformen verwirrt

18.04.2011, 15:07

lgrizu

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Zunächst einmal ist deine Lösung richtig, man kann auch leicht überprüfen, dass zum Beispiel für t=1 die Linearkombination $\begin{eqnarray*} v_1+v_2-4 \cdot v_3=0 \end{eqnarray*}$ den Nullvektor erzeugt.

Die zweite Zeile liefert niemals eine Nullzeile, denn der zweite Eintrag verschwindet für t=-3 und der dritte Eintrag verschwindet für t=-1.

Zitat:

Meinst du mit Nullzeile jetzt einfach das erfüllen der Gleichung?

Das Erfüllen welcher Gleichung?

Wenn du meinst, der Gleichung 2t²+t-3=0, dann ja, denn dann ist die letzte Zeile eine Nullzeile, also eine Zeile, die nur Nullen als Einträge hat.

Zitat:

Wenn du nochmal sagen könntest, warum die Vektoren jetzt in Zeilen geschrieben worden sind

Aber sicher, wir operieren doch auf den Vektoren, schreiben wir sie als Spalten und führen dann Zeilenumformungen durch, dann operieren wir auf den Zeilen, also nicht auf unseren Vektoren, denn das sind ja die Spalten.
Wenn wir die Vektoren als Spalten schreiben können wir dementsprechend Spaltenumformungen wählen, um eine Nullspalte zu errechnen.

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