Teiler in Z[i] |
| 16.04.2011, 15:39 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Teiler in Z[i] Ich habe ein paar Probleme um auf den richtigen Ansatz zu kommen. Meine Aufgabe lautet: Bestimme bis auf Assoziiertheit die Teiler von in Z[i]. Ich finde leider kein Beispiel wie man so etwas angehen kann, daher wäre es super, wenn ihr einen Tipp hättet. Was assoziiert heißt und wie Z[i] aussieht, weiß ich. Meine Überlegung ist aber leider nur so weit, dass ich mindestens 2 Teiler finden muss, die kein Vielfaches voneinander sind, aber 4+7i ergeben. Nur wie ich da vorgehen kann weiß ich nicht. Vielen Dank schonmal für Tipps! |
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| 16.04.2011, 15:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Teiler in Z[i] Du könntest ja mal ansetzen und dann zu übergehen... Das sollte sehr interessante einschränkende Bedingungen für u und v liefern... |
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| 16.04.2011, 16:40 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok danke, das hilft mir schonmal 
Aber müsste es nicht -33 sein statt 65? Wegen des quadrierten i? |
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| 16.04.2011, 16:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo wird da i quadriert? 
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| 16.04.2011, 16:57 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok schon erledigt, Denkfehler. Danke
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| 16.04.2011, 17:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Kanninchen: Heißt das, du bist mir der Aufgabe fertig? 
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| 16.04.2011, 17:43 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
will ich doch hoffen. 
Zumindest hat mir das schon weitergeholfen. |
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| 16.04.2011, 17:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du die Lösung posten, würde die Aufgabe auch gerne machen.
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| 17.04.2011, 18:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme auf . Was gibt es denn noch? Habe versucht über N(x)=5, N(y)=13 x und y zu bestimmen. Beide Zahlen (5,13) sind kongruent 1 mod 4 und daher bin ich wie hier vorgegangen. |
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| 18.04.2011, 09:22 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prinzipiell hat eine Gleichung wie N(x)=p für eine Primzahl p entweder 0,4 oder 8 Lösungen, bis auf Assoziiertheit gar nur 0,1 bzw. 2 und zwar in Abhängigkeit davon in welcher der Restklassen 3,2,1 mod 4 (in genau dieser Reihenfolge!) die Primzahl p liegt... Im gegenständlichen Fall haben die Gleichungen N(x)=5 und N(x)=13 (bis auf Assoziiertheit) also jeweils 2 Lösungen... Z.B. könnte man im Fall N(x)=5 die zwei Lösungen dann daraufhin überprüfen, ob sie tatsächlich Teiler der Ausgangszahl sind... Mit jedem Teiler x sind dann natürlich auch alle zu x assoziierten Elemente ebenfalls Teiler... |
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| 18.04.2011, 12:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann man das irgendwo nachlesen? |
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| 18.04.2011, 12:23 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vermutlich schon, aber ich müsste mich da auch erst "auf die Suche begeben" ... Andererseits ist einiges davon ziemlich trivial... Zunächst folgt ja aus der Lösbarkeit von in ganzen Zahlen x und y sofort, dass ist, einfach indem man berücksichtigt, dass Quadrate mod 4 immer nur von der Form 4k oder 4k+1 sein können... Ferner kann der Fall offensichtlich nur für p=2 auftreten... Das einzig Nichttriviale an der ganzen Sache ist also, dass für Primzahlen von der Form 4k+1 "im Wesentlichen" eindeutig lösbar ist, ein altes Resultat, das schon auf Fermat zurückgeht... Da ich weiß, dass du gerne auch nach der Umkehrung fragst, ja, die gilt hier tatsächlich: Hat obige Diophantische Gleichung "im Wesentlichen" nur 1 Lösung und ist p>1, dann ist p Primzahl...
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