[Relationen] Beweise bei binären Relationen

16.04.2011, 17:40	firefexx	Auf diesen Beitrag antworten »
[Relationen] Beweise bei binären Relationen Hi, ich hab da mal ne Frage zu einer Aufgabe bei der es ums Beweisen bei Relationen geht. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine binäre Relation auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} R \subseteq X \times X \end{eqnarray}$ . Wir definieren (induktiv) $\begin{eqnarray} R^0 := {(x, x): x \in X} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^{n+1} := {(x, y): es\ gibt\ ein\ z\ mit (x, z) \in R\ und (z, y) \in R^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^ := \bigcup_{n \geq 0} R^n \end{eqnarray}$ Jetzt heißt die erste Aufgabe dazu Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} R^* \end{eqnarray}$ ist eine reflexive Relation. Habt ihr ne Idee wie ich das jetzt zeigen soll? Ich meine, in der Definition von $\begin{eqnarray} R^0 \end{eqnarray}$ steht ja schon dass diese Menge alle reflexiven Relationen beinhaltet. Und da $\begin{eqnarray} R^0 \subseteq R^* \end{eqnarray*}$ ist, ist das doch schon klar. Ich weiß jetzt nicht wie man das mathematisch beweisen soll oO Kann mit jemand helfen? THX VG
16.04.2011, 20:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du angemerkt hast, ist der Beweis wirklich trivial. Für jedes $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (x,x) \in R^0 \subseteq \bigcup_{n \geq 0} R^n = R^ \end{eqnarray*}$
17.04.2011, 15:16	firefexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für die Antwort! Dann war das echt einfacher als gedacht.. Bin noch nicht geübt was Beweise angeht und muss da noch einiges lernen. Eine weitere Aufgabe ist zu zeigen dass $\begin{eqnarray} R^ \end{eqnarray}$ transitiv ist. Diesmal ist es die zweite Zeile der Definition die eigentlich schon die Lösung ist, oder sehe ich das falsch? Das Problem ist ich weiß wieder nicht wie ich richtig anfangen soll. $\begin{eqnarray} \forall x,y,z \in X : (x,y) : \exists z: (x,z) \in R, (z,y) \in R^n \end{eqnarray*}$ Ähm ne.. Nicht wirklich oder?

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