Maximum der Poisson-Verteilung

16.04.2011, 19:40

Gauß'scher Algo

Maximum der Poisson-Verteilung

Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe, da ich das Maximum einer Poisson-Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Analysis-Methoden berechnen muss...

Meine Ideen:
Die Formel lautet: P(x=k)= $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma^{k}}{k!} \cdot e^{\gamma } \end{eqnarray*}$
Ich denke ich muss diese Ableiten und anschließend Nullsetzten
Ich versteh aber nicht wie ich k! usw. ableiten soll

Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal

16.04.2011, 19:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gauß'scher Algo
Ich versteh aber nicht wie ich k! usw. ableiten soll

Deswegen ist das mit der Ableitung auch keine so gute Idee.

Eine andere Möglichkeit:

Betrachte den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} \end{eqnarray*}$ . Ist der größer als 1, so ist $\begin{eqnarray*} P(X=k)>P(X=k-1) \end{eqnarray*}$ . Ist er dagegen kleiner als 1, so ist $\begin{eqnarray*} P(X=k)<P(X=k-1) \end{eqnarray*}$ . Das mag banal klingen, aber wenn du diesen Quotienten vereinfachst, solltest du den Sinn dahinter begreifen.

16.04.2011, 19:50

tmo

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Ich würde $\begin{eqnarray*} a_k := e^{-\gamma} \frac{\gamma^k}{k!} \end{eqnarray*}$ definieren und dann mal $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$ studieren.

Es heißt übrigens "e hoch minus gamma". Das Minus hast du vergessen.

16.04.2011, 20:34

Gauß'scher Algo

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Problem ist, dass ich es auf jeden Fall mit Methoden der Analysis machen muss...
und ob das gültige Methoden sind weiß ich nicht...
Könnt ihr eure Lösungsansätze vielleicht genauer ausführen
Bin nicht so das Genie in Mathe

(ja es ist e hoch -gamma)

16.04.2011, 20:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gauß'scher Algo
Könnt ihr eure Lösungsansätze vielleicht genauer ausführen

Wie "nahe" denn noch? Rechne doch erstmal den Quotienten aus!

16.04.2011, 20:42

Gauß'scher Algo

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Hab nur keine Zahlen... muss es allgemein formulieren
Ich hab auch gelesen, dass die Poisson-Wahrscheinlichkeit immer nur ein Maximum besitzt?!

16.04.2011, 20:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gauß'scher Algo
Hab nur keine Zahlen... muss es allgemein formulieren

Das ist mir durchaus bewusst. Es geht auch nicht um Zahlenrechnen, sondern symbolisches Rechnen. Noch nie davon gehört?

16.04.2011, 21:02

Gauß'scher Algo

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Mir ist durchaus bewusst, dass es symbolisches Rechnen gibt. Danke für den Hinweis!
Finde es echt nett, dass du dich meiner annimmst und mir hilfst. Bin wie es scheint etwas schwer von Begriff und komm nicht drauf wie man den Quotienten vereinfacht.

16.04.2011, 21:16

Gauß'scher Algo

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Kam erstmal auf das hier: (wenn ich oben im bruch k+1 stehen hab, also methode von tmo)

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{\gamma^{k+1}}{k+1!}}{\frac{\gamma ^{k}}{k!} } \end{eqnarray*}$

komm aber nicht weiter

16.04.2011, 21:26

Gauß'scher Algo

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komme auch noch auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\gamma}{(k+1)!} \cdot k! \end{eqnarray*}$

16.04.2011, 21:34

HAL 9000

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Na, geht doch (warum nur muss man erst so lange betteln)!

Die Fakultäten kannst du auch noch vereinfachen, indem du dir deren Definition ins Gedächtnis rufst:

$\begin{eqnarray*} k! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (k+1)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1) \end{eqnarray*}$

Da kürzt sich ganz schön was weg, wenn du den Quotient dieser beiden Werte anschaust.

16.04.2011, 21:49

Gauß'scher Algo

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kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\gamma }{(k+1)} \end{eqnarray*}$

und wie komm ich davon aus jetzt auf das Maximum

16.04.2011, 21:49

Gauß'scher Algo

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Du bist lustig! Ich bettel gar nicht ^^

16.04.2011, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gauß'scher Algo
Du bist lustig! Ich bettel gar nicht

Das hast du falsch verstanden: Ich war es , der gebettelt hat, weil du ja erst nach dem dritten Anstoß endlich mal aktiv geworden bist! Die jetzt stattgefundene Rechnung hatte ich eigentlich nach dem ersten Post bzw. dem von tmo erwartet. Augenzwinkern

Wie es weitergeht, habe ich ebenfalls schon angedeutet:

Zitat:

Original von HAL 9000
Betrachte den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} \end{eqnarray*}$ . Ist der größer als 1, so ist $\begin{eqnarray*} P(X=k)>P(X=k-1) \end{eqnarray*}$ . Ist er dagegen kleiner als 1, so ist $\begin{eqnarray*} P(X=k)<P(X=k-1) \end{eqnarray*}$ .

Einfach mal drüber nachdenken.

16.04.2011, 22:04

Gauß'scher Algo

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maaaaaaaaaaaaaaaaan scheiße

20.04.2011, 11:58

Gauß'scher Algo

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Ich komm einfach nicht drauf.
Wäre echt nett wenn mir irgendwer auf die sprünge helfen könnte... =)

21.04.2011, 15:57

Gauß'scher Algo

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Wenn ich das Ganze jetzt aber mit Ableitungen machen möchte, weil das wahrscheinlich auch so machen muss...
Dann muss ich doch die Gamma Funktion einsetzten oder? Um k! weg zu bekommen...
Dann sieht das ganze so aus $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^{k} }{\forall \left(k+1\right) } \cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$
das umgedrehte A steht für das Gamma Zeichen...

Wenn ich das jetzt Ableite bleibt e ja gleich aber was passiert mit der Gammafunktion??

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