Ideale und Polynomring

Neue Frage »

Lina P. Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale und Polynomring
Meine Frage:
I,J seien Ideale des Ringes R. Zeigen sie, dass auch die folgenden Teilmengen von R wieder Ideale sind:

1. := | n aus N, aus Ideal I, aus Ideal J}

2. := {r aus Ring | Es existiert ein n aus N: aus Ideal I}, sofern R kommutativer Ring

Meine Ideen:
So jetzt dachte ich beweise ich das über die Axiome für Ideale, also:
zu 1.

zZ: i.) 0 ist in I*J
= 0 -> und weil I,J Ideale enthalten sie 0 -> 0 ist in I*J

ii.) x,y aus I*J -> x-y liegt in I*J
x= ai,ci aus I, bi,di aus J
y=
x-y = -
=
so da steck ich fest.. ich soll diesen letzten Term so umformen dass er quasi die Form hat, dass ich sehen kann, dass das in I*J liegt. Hoffe da kann mir einen einen Tipp geben.
Ich glaube mal, ich muss quasi ein r aus I und s aus J aus dem Term () ausklammern und dann zeigen, dass das was übrig bleibt ? R ist. Aber das hab ich nicht geschafft und weiß auch nicht, ob das richtig ist.

iii.) r aus Ring, x aus -> liegt in
(ai aus I, bi aus J)
= = und das liegt in , da () in I liegt und bi in J liegt.


so zu 2. da hab ich ähnliche Probleme:

i.) wieder recht einfach smile 0 ist in , da =0 für alle n in N und 0 ist laut Vorraussetzung in I.

ii.) x,y in -> x-y ist in
d.h.
Es existiert n in N mit x^n in I
Es existiert n in N mit y^n in I
zZ: es existiert ein n in N mit in I
= (binomische Formal halt, hab das zeichen für n über i nicht gefunden, habs deshalb ausgeschrieben)

so da häng ich wieder.....

iii.) r aus dem Ring, x aus -> liegt in

=

liegt im Ring für alle n aus N. liegt im Ring für alle n aus N

und liegt für ein bestimmtes i aus N in . Für die anderen i jedoch nicht, weswegen ich nicht weiß wie ich folgern soll, dass die summe insgesamt in liegt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale und Polynomring
Hi Lina,

Zu 1.:
Aufgaben (i) und (iii) sind richtig gelöst, wobei Du bei (i) sogar nur brauchst, dass eine der beiden Mengen die enthält.

Zu (ii): Was bedeutet die Definition von denn in einfachen Worten? Und warum bist Du folglich mit dem Aufschreiben von für und schon mit dem Rechnen fertig? (Ich habe hier übrigens absichtlich statt geschrieben, weil sich nicht auch mit Summanden schreiben lassen muss.)

Zu 2.: Zuerst zwei Bemerkungen zu den Voraussetzungen: Es ist wichtig, dass der betrachtete Ring kommutativ und mit 1 ist, da sonst der Binomische Satz nicht unbedingt gilt. Den braucht man aber, wie Du Dir schon richt überlegt hast zum Zeigen der Aussage. In Deiner Definiton des Radikalideals sollte eher statt stehen.

Nun zu den Idealeigenschaften: Zeige lieber die Abgeschlossenheit gegenüber einfachen Summen (Das ist technisch etwas einfacher und die Abgeschlossenheit bezüglich Differenzen folgt dann später aus dieser Aussage zusammen mit der Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation mit Ringelementen).

Der erste Schritt ist hierbei, deutlich zwischen den jeweils betrachteten Exponenten unterscheiden. Wir wollen zeigen, dass . Im Klartext heißt das: Gibt es für Elemente natürliche Zahlen mit und mit , dann gibt es ein , sodass . Bitte mach' Dir diese Formulierung klar.

Als Tipp: Dein Ansatz mit dem binomischen Satz ist gut. Wende Ihn auf an.

Was Du mit dem binomischen Satz für die Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation mit Ringelementen erreichen möchtest, ist mir nicht klar. Sei und . Dann liegt für ein das Element im Ideal . Was sehen wir zunächst daraus?

Prinzipiell zum Thema LaTeX: Binomialkoeffizienten kriegst Du mit \binom{}{} und Indizes durch a_i. Beachte bitte insbesondere letzteres, da sonst die Formeln unlesbar und mehrdeutig werden. Die richtigen Klammern für Exponenten sind außerdem geschweift, d.h. Du musst a^{x+y} schreiben für .

Viele Grüße,
zweiundvierzig
Lina P. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale und Polynomring
Hi. Erstmal danke für die Antwort und ja mein Latex ist nicht wirklich gut. Habe es zum ersten mal benutzt.

Also: zu 1.
(i.) ja eigentlich reicht eine 0, aber da ich nur bei der 0 weiß dass sie sicher im Ideal liegt, hab ich beides 0 gesetzt.
ii.) Laut Definition ist = Die Menge aller endlichen Summen von Elementen des Rings R der Form mit und

So haben wir jetzt.
Stimmt da n nicht unbedingt gleich k sein muss können wir die Summen nicht einmal zusammen ziehen.
Äh kann man jetzt einfach sagen, dass weil und J eine Teilmenge von R .
Analog zeigt man und und .
Weil I und J sind ja Ideale auf dem gleichen Ring.
Und daraus folgt, dass
Geht das wirklich so einfach?

So zu 2.
Ja wir haben den Ring direkt mit 1 definiert und dass er kommutativ ist wird ja für diesen Teil der Aufgabenstellung extra als Zusatz hinzugefügt.

so versteh ich, wieso man das als Ansatz erstmal nehmen kann. Es heißt im Grunde, man wählt n und k fest, so dass gilt und . n und k existieren ja laut Vorraussetzung. Und weil l erstmal nicht fest ist, kann man jede natürliche Zahl durch n+k+l ausdrücken. Naja egal.
So jetzt hat man quasi:

aber wirklich weiter bringt mich das auch nicht.
Kann man sagen ?
Weil dann könnte ich dadurch im Prizip direkt folgern, dass
Wenn nicht, brauch ich wohl noch einen Tipp traurig traurig traurig

zu 2. iii.)
Damit beschäftige ich mich nach dem Kaffee.....
Ich bearbeite dass dann später bzw. häng nen neuen Beitrag dran.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale und Polynomring
Zitat:
Original von Lina P.
Stimmt da n nicht unbedingt gleich k sein muss können wir die Summen nicht einmal zusammen ziehen.
Äh kann man jetzt einfach sagen, dass weil und J eine Teilmenge von R .

Worauf willst Du hinaus? Die Elemente und liegen doch so oder so in .

Zitat:
Original von Lina P.
Analog zeigt man und und .


Nein, die Aussagen sind im allgemeinen falsch.

Ich wollte auf folgendes hinaus: Das Ideal besteht genau aus Summen von Produkten von Elementen aus mit Elementen aus . Haben wir nun für und , als was können wir das Element erkennen?

Zitat:
Original von Lina P.
Ja wir haben den Ring direkt mit 1 definiert und dass er kommutativ ist wird ja für diesen Teil der Aufgabenstellung extra als Zusatz hinzugefügt.


Sorry, hatte ich übersehen. smile

Zitat:
Original von Lina P.
Es heißt im Grunde, man wählt n und k fest, so dass gilt und . n und k existieren ja laut Vorraussetzung.

Genau.

Zitat:
Original von Lina P.

aber wirklich weiter bringt mich das auch nicht.

Das hatte ich auch nicht geschrieben. Mein Exponent lautete nicht , sondern .Allerdings hatte ich mich selbst oben auch vertippt und meinte eigentlich .

Hoffe, der Kaffee hilft Dir über die Kette der Verwirrungen hinweg. Big Laugh

Wir betrachten also . Für jedes gilt nun oder aber . Was nützt uns dies im Hinblick auf die Voraussetzungen ?
Lina P. Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt bin ich erst recht verwirrt.
Also erst einmal: Wieso ist meine Aussage falsch?
laut Vorraussetzung. (klar weil Ideal ist eine Teilmenge des Ringes R)
Laut dem 3. Axiom für Ideale () muss nun folgern, dass
So jetzt mach ich das gleiche Spielchen nochmal.
laut Vorraussetzung. (klar weil Ideal ist eine Teilmenge des Ringes R)
Laut dem 3. Axiom für Ideale () muss nun folgern, dass
Dazu sollte man sagen, dass wir den Begriff Ideal als zweiseitiges Ideal definiert haben.
Analog kann ich das nun folgern, dass und .
Das folgt doch direkt aus dem den dritten Axiom.
Nun folgt aus dem zweiten Axiom für Ideale, dass und
(Weil die endliche Summe von Elementen aus dem Ideal ist wieder im Ideal)
Und nun kann man
schreiben als mit

So wahrscheinlich ist da wieder ein dummer Denkfehler drin, den möchte ich erstmal gezeigt bekommen, bevor ich diesen Ansatz vergesse. Augenzwinkern

______________________

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wir betrachten also . Für jedes gilt nun oder aber . Was nützt uns dies im Hinblick auf die Voraussetzungen ?

Hmmmmmm. Ich dachte n ist fest mit wie kann es dann immer sein. i ist doch die Indexvariable der Summe, die von 0 bis n+k-1 geht.
Und macht für mich dann erst recht keinen Sinn.
Du sagst im Prinzip .

naja zu 2. iii.)
wieso ich da die Binomische Formel anwenden wollte, weiß ich auch nicht. Hammer
Gelten die Potenzgesetze in jedem kommutativen Ring? Vor allem wenn wir nicht einmal wissen wie die Multiplikation in diesem Ring definiert ist? verwirrt verwirrt verwirrt
Also . Dann liegt für ein das Element im Ideal I.
zZ:
Dazu wählen wir n so, dass
Für n=m gilt nun
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lina P.
ok jetzt bin ich erst recht verwirrt.
Also erst einmal: Wieso ist meine Aussage falsch?


Tut mir leid, ich hatte Dich da unpassend zitiert. Das Problem ist, ich sehe leider nicht, was Deine zentrale Idee bei dem Beweis ist. Im allgemeinen gilt jedenfalls , d.h. Summen von Elementen in müssen nicht in liegen. Damit kannst Du also nicht argumentieren, wenn es das war, was Du wolltest.

Die zu zeigende Aussage ist wirklich nicht tiefsinnig. Die Frage ist, wie bereits angedeutet: Ist für eine Summe über Produkte von Elementen aus mit Elementen aus ?

Zitat:
Original von Lina P.
Hmmmmmm. Ich dachte n ist fest mit wie kann es dann immer sein. i ist
doch die Indexvariable der Summe, die von 0 bis n+k-1 geht.
Und macht für mich dann erst recht keinen Sinn.
Du sagst im Prinzip .


Es ist . Ich habe die Fallunterscheidung gemacht, dass entweder oder gilt. Was folgt denn zunächst für die Termine mit ?

Deine Idee zu 2.), (iii) ist im Prinzip richtig, aber Du musst hier nicht groß Exponenten suchen. Es gilt für ein gewisses . Wegen und da ein Ideal ist, erhalten wir. Dieses Potenzgesetz gilt in jedem kommutativen Ring.
 
 
Lina P. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Die zu zeigende Aussage ist wirklich nicht tiefsinnig. Die Frage ist, wie bereits angedeutet: Ist für eine Summe über Produkte von Elementen aus mit Elementen aus ?


Wenn du mich so fragst: Ja!

Trotzdem versteh ich nicht, wo der Fehler in meinem Beweis ist, auch wenn ich jetzt sehe, dass das alles überflüssig ist, wenn ich mir die Summen mal vernünftig angeguckt hätte. :-8
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Deine Idee zu 2.), (iii) ist im Prinzip richtig, aber Du musst hier nicht groß Exponenten suchen. Es gilt für ein gewisses . Wegen und da ein Ideal ist, erhalten wir. Dieses Potenzgesetz gilt in jedem kommutativen Ring.


Ok danke.

So dann danke für deine Hilfe und deine Zeit. Du hast mir sehr geholfen.

In Mathe und in Latex *Gg*
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lina P.
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Die zu zeigende Aussage ist wirklich nicht tiefsinnig. Die Frage ist, wie bereits angedeutet: Ist für eine Summe über Produkte von Elementen aus mit Elementen aus ?


Wenn du mich so fragst: Ja!

Genau. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Lina P.
Trotzdem versteh ich nicht, wo der Fehler in meinem Beweis ist, auch wenn ich jetzt sehe, dass das alles überflüssig ist, wenn ich mir die Summen mal vernünftig angeguckt hätte. :-8

Deine Argumentation, dass , ist richtig, aber eben in dem Zusammenhang nicht zielführend gewesen.


Zitat:
Original von Lina P.
So dann danke für deine Hilfe und deine Zeit. Du hast mir sehr geholfen.

In Mathe und in Latex *Gg*


Gern geschehen. Augenzwinkern Wenn Dir noch etwas zu der Aufgabe mit dem Radikal einfällt, kannst Du Dich ja nochmal melden.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »