Konvergenz rekursive Folge

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17.04.2011, 02:31	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz rekursive Folge Hi, ich hoffe das ihr mir bei einem kleinen Problem helfen könnt. Und zwar komme ich bei der Untersuchung der folgenden, rekursiv definierten Folge momentan nicht weiter. Zwar hab ich nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_{n} + 6 - \frac {a_{n}+6}{10} = \frac{9(a_{n}+6)}{10} = \frac {9}{10}a_{n}+5.4 \end{eqnarray}$ gegen 54 Konvegiert. Mein Problem ist aber nun, das ich für meine Aufgabe den Index n ermitteln muss, ab dem gilt: $\begin{eqnarray} a_{n} = 54 \end{eqnarray}$ Denkbar einfach wäre es, wenn man eine explizite Darstellung der Folge finden kann. Dies gelingt mir aber nicht. Es muss doch aber elegantere Wege geben als zu Fuß solange Folgenglieder zu berechnen, bis man den gesuchten Index hat
17.04.2011, 02:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz rekursive Folge Was ist der Startwert a0? Und sicher, dass die Aufgabe so lautet... Denn im Umkehrschluss müßte es dann ein an ungleich 54 geben mit a(n+1)=54. Und da bekomme zumindest ich einen Widerspruch...
17.04.2011, 02:57	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Startwert a0 ist 0, hatte ich vergessen Kann leider keine konkrete Aufgabenstellung nennen, da es um die Modellierung eines alltäglichen Problems geht und ich demnach alle mathematischen Größen selber aufstellen muss(te). Dein angesprochener Widerspruch leuchtet ein, heißt also das die 54 tatsächlich nie ganz erreicht wird. In dem Fall brauche ich also ein Folgenglied, ab dem man schon "nahe" am Grenzwert dran ist. Hättest du denn eine Idee, wie man das Folgenglied bekommt, ab dem mein a_n größer als beispielsweise 50 ist Das 54 die kleinste obere Schranke der Folge ist und das sie streng monoton wachsend ist (bis dieser Wert erreicht wird) habe ich schon gezeigt. Aber das hilft hier wohl nicht weiter
17.04.2011, 03:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenglied 25 sollte das sein. Hab das nun einfach programmiert.
17.04.2011, 09:31	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das allgemeine Folgenglied ist ja offensichtlich $\begin{eqnarray} a_n=54(1-0.9^n) \quad (n \in \mathbb N) \end{eqnarray}$ Daher sollte das auch einfacher gehen...
17.04.2011, 14:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So bei Tageslicht Kimi_R, dir ist klar, wie Mystic auf die Darstellung kommt?
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17.04.2011, 16:29	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar das sie stimmt (auch per Induktion gezeigt), aber nicht wie man das erkennt
17.04.2011, 16:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. du hast die Formel per Induktion bewiesen, wärst aber nicht auf diese Darstellung gekommen?
17.04.2011, 17:03	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
17.04.2011, 17:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen um die Ecke gedacht. $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac {9}{10}a_{n}+5.4 \end{eqnarray*}$ Man zahlt nachschüssig 5.4€ ein und erhält eine negative Verzinsung von 10%. Mit der Formel für den Endwert der Nachschüssigen Rente kommen wir auf Mystics Formel. Das Prinzip dahinter kann man auch ohne BWL interpretation anwenden. http://de.wikipedia.org/wiki/Nachsch%C3%BCssige_Rente
17.04.2011, 19:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine andere, direkt an geometrische Folgen angelehnte Erklärungsvariante: Man subtrahiert den Grenzwert 54 und erhält $\begin{eqnarray} a_{n+1}-54 = \frac {9}{10} \cdot a_{n}-48.6 = \frac {9}{10} \cdot \left( a_{n}-54 \right) \end{eqnarray}$ D.h., die Folge $\begin{eqnarray} b_n := a_n-54 \end{eqnarray}$ erfüllt die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray} b_{n+1}=qb_n \end{eqnarray}$ einer geometrischen Folge, hier mit $\begin{eqnarray} q=\frac{9}{10} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} b_0=a_0-54=-54 \end{eqnarray}$ . Damit kann man auch die bekannte explizite Darstellung einer solchen Folge ins Spiel bringen, was wiederum auf Mystics Darstellung führt. Dieser "Trick" (so man es denn so nennen kann) funktioniert bei allen rekursiven Folgen der Gestalt $\begin{eqnarray} a_{n+1} = qa_n + r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q\neq 1 \end{eqnarray}$ .

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