Gruppenelemente Ordnung 2, Vektorraumstruktur

17.04.2011, 04:27

Merlinius

Gruppenelemente Ordnung 2, Vektorraumstruktur

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

(Abelsche und auflösbare Gruppen)
Erstmal zu:
i) Zeigen Sie: Wenn alle Elemente einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ haben, dann ist G abelsch und isomorph zu einem Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Also, abelsch habe ich gezeigt, das ist kein Problem. Bei der Vektorraumstruktur bin ich mir unsicher. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} |X| = 2n \Rightarrow V = \mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |X| = \infty \Rightarrow V = \mathbb Z_2^\infty \end{eqnarray*}$

beides als Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$

Dann soll V mit der Addition die Gruppenstruktur tragen. Jetzt bin ich aber etwas unsicher, was diesen Vektorraum angeht.

Erstens weiß ich nicht, ob das neutrale Element eindeutig dargestellt ist mit dieser Vektorraumstruktur. Also alle Elemente, die Ordnung zwei haben, sind wohl eindeutig mit einem Element aus dem Vektorraum verknüpft. Denn entweder können sie die Form "a ~ 1" haben, oder halt "a² ~ 0". Aber was ist mit dem neutralen Element e? Wenn ich dieses mit der ersten Koordinate meines Vektors ausdrücken will, so wäre wegen e = e² ja (0, ...) = (1, ...)? Außerdem hat meine Gruppe 2n Elemente, also muss auch mein Vektorraum so viele Elemente haben. Dann kann ein Element ja nicht doppelt dargestellt sein.

Oder ist meine Idee ganz falsch?

17.04.2011, 09:01

Mystic

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RE: Gruppenelemente Ordnung 2, Vektorraumstruktur

Zitat:

Original von Merlinius
Erstens weiß ich nicht, ob das neutrale Element eindeutig dargestellt ist mit dieser Vektorraumstruktur. Also alle Elemente, die Ordnung zwei haben, sind wohl eindeutig mit einem Element aus dem Vektorraum verknüpft. Denn entweder können sie die Form "a ~ 1" haben, oder halt "a^2 ~ 0". Aber was ist mit dem neutralen Element e? Wenn ich dieses mit der ersten Koordinate meines Vektors ausdrücken will, so wäre wegen e = e² ja (0, ...) = (1, ...)? Außerdem hat meine Gruppe 2n Elemente, also muss auch mein Vektorraum so viele Elemente haben. Dann kann ein Element ja nicht doppelt dargestellt sein.

Oder ist meine Idee ganz falsch?

Kann ich nicht sagen, denn ich verstehe kein Wort von dem, was du da schreibst, gerade so, als ob es um eine ganz andere Aufgabe ginge... unglücklich

Zunächst einmal sollte man die Operation additiv schreiben, denn sie ist ja kommutativ, wie du schon richtig bemerkt hast, und soll ja auch als additive Gruppe eines Vektorraums dienen... Des weiteren hat $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ nur zwei Elemente, die ich jetzt mit 0 und 1 bezeichne... Es geht also darum, nur zwei Skalarprodukte zu definieren, nämlich

$\begin{eqnarray*} 0 x = ?, \quad 1 x = ? \quad (x \in G) \end{eqnarray*}$

Das sollte aber nicht schwer sein, genausowenig wie der Nachweis, dass dabei tatsächlich ein Vektorraum herauskommt... Augenzwinkern

17.04.2011, 10:51

tmo

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RE: Gruppenelemente Ordnung 2, Vektorraumstruktur

Zitat:

Original von Merlinius
$\begin{eqnarray*} |X| = 2n \Rightarrow V = \mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$

Das kann übrigens so nicht sein, da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elemente enthält.

Du zeigst also während dem Beweis nebenbei ganz automatisch, dass jede solche Gruppe (wenn sie endlich ist) eben eine 2er-Potenz als Ordnung hat.

17.04.2011, 12:57

Merlinius

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Au weia, da hab ich ja ganz schön geschlafen mit dem $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ . Ich schieb's mal auf die Uhrzeit Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Kann ich nicht sagen, denn ich verstehe kein Wort von dem, was du da schreibst, gerade so, als ob es um eine ganz andere Aufgabe ginge... unglücklich

Okay, war wohl ziemlich Quatsch, was ich da geschrieben hatte.

Zitat:

Also einfach $\begin{eqnarray*} 0x = 0_G, 1x = x \end{eqnarray*}$ ?

Dann ist es tatsächlich ein Vektorraum, da dieser nicht leer ist, additiv abgeschlossen ist klar über die Gruppenstruktur, multiplikativ logischerweise auch. Irgendwie hatte ich mich da in eine etwas verrückte Idee verrannt.

17.04.2011, 13:42

Mystic

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Über einen Punkt gehst du mir ein bißchen zu schnell hinweg...Ja, es stimmt, alle Vektorraumgesetze sind mit dieser Definition tivialerweise erfüllt - bis auf eines, denn sonst könnte man es ja immer so machen, was aber nicht immer so geht... Es muss

$\begin{eqnarray*} 0=0x=(1+1)x=1x+1x=x+x \quad \forall x \in G \end{eqnarray*}$

gelten, d.h., alle Elemente der Gruppe sind selbstinvers, und das ist eben hier nach Voraussetzung auch erfüllt... Augenzwinkern

17.04.2011, 14:20

Merlinius

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Zitat:

Original von Mystic
Über einen Punkt gehst du mir ein bißchen zu schnell hinweg...Ja, es stimmt, alle Vektorraumgesetze sind mit dieser Definition tivialerweise erfüllt - bis auf eines, denn sonst könnte man es ja immer so machen, was aber nicht immer so geht... Es muss

$\begin{eqnarray*} 0=0x=(1+1)x=1x+1x=x+x \quad \forall x \in G \end{eqnarray*}$

gelten, d.h., alle Elemente der Gruppe sind selbstinvers, und das ist eben hier nach Voraussetzung auch erfüllt... Augenzwinkern

Also um nochmal deutlich zu machen, dass der Vektorraum auch die Struktur der Gruppe trägt? (In der jedes Element zu sich selbst invers ist.)

Also die Aufgabe geht weiter:

(Tut mir Leid, aber ich hab echt Schwierigkeiten mit diesem Fach (Gruppentheorie), irgendwie fehlen die Grundlagen.)

Zitat:

Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn alle Elemente der Gruppe G Ordnung kleiner gleich 3 haben, so ist G abelsch

Als Gegenbeispiel würde ich hier die symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ anführen, diese ist nicht abelsch, da:

$\begin{eqnarray*} (1 2 3) \circ (1 3) = (2 3) \neq (1 2) = (1 3) \circ (1 2 3) \end{eqnarray*}$

Allerdings haben alle Gruppenelemente Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ besteht aus der Identität, zwei 3-Zykeln und drei Transpositionen. Richtig?

17.04.2011, 15:16

Mystic

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Ja, das Gegenbeispiel ist in Ordnung... Freude

Noch ein Wort zu der anderen Sache... Jede abelsche Gruppe kann als $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ - Modul aufgefasst werden, indem man definiert

$\begin{eqnarray*} nx= \underbrace{x+x+\ldots+x}_{n-mal} \quad (*) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} n \ge 0 \end{eqnarray*}$

und nx=(-n)(-x), falls n <0...

Hat die Gruppe den Exponenten p, p Primzahl, so kann auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ unter Benützung des Vertretersystems {0,1,...,p-1} in ganz gleicher Weise ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ erklärt werden, wobei aber jetzt nur mehr (*) benötigt wird...

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