Integral berechnen/Residuum

05.12.2006, 20:48	Integrand2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen/Residuum Hi, hab folgendes Problem: man soll das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^\Pi \dfrac{dx}{\frac{1}{3} + (\sin{x})^2}\ \end{eqnarray}$ berechnen. Eine Anleitung dazu ist gegeben: Ersetzen von $\begin{eqnarray} \sin{x} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2 \, i} \cdot \left( e^{+ix}-e^{-ix}\right) \end{eqnarray}$ und Substitution: $\begin{eqnarray} z = e^{2ix} \end{eqnarray}$ Dann kann man das Integral irgendwie in der Form $\begin{eqnarray} \int_{\gamma(0,1)} g(z) dz \end{eqnarray}$ schreiben und das Residuum von g(z) innerhalb des Einh.-Kreis $\begin{eqnarray} \vert \gamma(0,1) \vert \end{eqnarray}$ berechnen. Ich hab leider kein Plan wie ich das anstellen soll. Ich hab zwar mit der Substitution angefangen und folgendes erhalten: $\begin{eqnarray} \int \dfrac{1}{1/3 - 1/4 \left( z + z^{-1} -2 \right)} \cdot \dfrac{1}{2iz} dz \end{eqnarray}$ , wobei ich folgendes genutzt habe: $\begin{eqnarray} (\sin{x})^2 = \dfrac{-1}{4} \left( e^{2ix} + e^{-2ix} -2 \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z' = 2 \, i \, e^{2 i x } \end{eqnarray}$ Ich komm leider überhaupt nicht weiter, hab bisher auch noch nichts mit einem Residuum gerechnet, deshalb wäre ich froh wenn mir jemand helfen könnte Danke
06.12.2006, 08:01	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen/Residuum Schau dir mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensat...sche_Funktionen Das Beispiel an.
07.12.2006, 16:57	Integrand2006	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen/Residuum Vielen Dank, der Eintrag im wiki hat wirklich was gebracht. Die Aufgabe ist gar nicht so schwierig wie sie eigentlich aussieht ;-)

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