Homogene Differentialgleichung 1. Ordnung

17.04.2011, 12:21	Julie1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene Differentialgleichung 1. Ordnung Hallo, ich bezweifel die Lösung folgender Aufgabe: Lösen Sie die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} (1+e^{t})x(t) x'(t) = e^{t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(1) = 1 \end{eqnarray}$ Lösung: Die inhomogene lineare DGL 1. Ordung hat die Form $\begin{eqnarray} x'(t)= a(t) x(t) + b(t) \end{eqnarray}$ Die homogene lineare DGL 1. Ordnung hat die Form $\begin{eqnarray} x'(t)= a(t) * x(t) \end{eqnarray}$ Durch umformen sieht man, dass eine homogene DGL 1. Ordnung mit $\begin{eqnarray} a(t) = \frac{e^{t}}{ (1+e^{t})} \end{eqnarray}$ Die Lösung dieser Art von DGL sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} x(t) = C * e{A(t)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A(t) = \int_x^y \! a(t) \, dt \end{eqnarray}$ // hier sollte ein unbestimmtes Integral stehen (weiss nicht wie ich das mit latex schreiben kann) Berechnung der Lösung: $\begin{eqnarray} A(t) = \int_x^y \! \frac{e^{t}}{ (1+e^{t})} \, dt \end{eqnarray}$ //Integral ebenfalls unbestimmt $\begin{eqnarray} \Rightarrow ln(-1-e^{x}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x(1) = 1 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} C * ln(-1-e^{1}) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow C = \frac{1}{ ln(-1-e^{1})} \end{eqnarray}$ Jetzt frage ich mich was denn nun überhaupt ln(-1-e) sein soll Also ich meine, wie soll die Gleichung je lösbar sein, denn der ln ist nicht auf (R-) definiert. Wenn ich die Aufgabe über eine Variablentrennung berechne, also $\begin{eqnarray} f(x,y) = g(t) * h(x) \end{eqnarray*}$ , kommt das gleiche Ergebnis raus.
17.04.2011, 13:15	Julie1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich habe den Fehler entdeckt ^^ : In der Lösung $\begin{eqnarray} x(t) = C e ^{A(t)} \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray*}$ vergessen einzusetzen. Trotzdem Danke an die die meinem Beitrag gelesen haben.

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