Beschränktheit einer Menge

17.04.2011, 12:34

Portfreak

Beschränktheit einer Menge

Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich komme bei einer Aufgabe leider nicht weiter die Lautet:

"
Die Menge
M = {y ? R | Es gibt eine reelle Zahl x mit y=x-x^2}
ist nicht nach unten beschränkt und hat ein Maximum.
"
(Hab das Symbol für reelle Zahlen nicht gefunden deswegen R= Symbol für reelle Zahlen)

Ich habe eigentlich schon alles Herausgefunden, nur weiß ich nicht wie ich das Mathematisch korrekt verfassen soll...

- Also die Menge ist nicht nach unten beschränkt (geht aus Text hervor)...
- Die reele Zahl x mit y=2x-x^2 ist x=2 (durch umformung)
- Das Maximum (sup(x)) ist (1/1), leider nur durch eine Zeichnung gesehen Beweisweg leider nicht vorhanden unglücklich

Hat jemand gute Ansätze? Vorallem zum Maximum?

LG!

Meine Ideen:
Siehe Oben

17.04.2011, 12:53

Mazze

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Zitat:

Also die Menge ist nicht nach unten beschränkt (geht aus Text hervor)...

Trotzdem ist das zu beweisen.

Zitat:

Die reele Zahl x mit y=2x-x^2 ist x=2 (durch umformung)

Es gibt unendlich viele Zahlen in der Menge. Wie kommst Du auf dieses Resultat? R

Zitat:

Das Maximum (sup(x)) ist (1/1), leider nur durch eine Zeichnung gesehen Beweisweg leider nicht vorhanden unglücklich

Die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = x - x^2 \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar, welche Mittel und Wege kennst Du, um für differenzierbare Funktionen das Maximum zu finden?

17.04.2011, 13:54

Portfreak

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Hast recht smile

.

Hmm´weiß nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin, aber ich veruschs mal:

Zur nicht unteren Beschränktheit:
Sei s € R eine untere Schranke von M € y= 2x -x^2 und sei x € M.
So muss für eine untere schranke s>=x gelten.
Da x für jedes Element aus M gilt ist x=+-unendlich

Das heißt, da die funktion nach x -> +-unendlich strebt, gibt es keine untere grenze

Zum Resultat zur Existens der reellen Zahl x:
Angenommen es gibt eine reelle Zahl g mit g = { g € R | y=2x-x^2}.
So muss zur existents von g die Bedingung -2x+x^2<=g<=2x-x^2 erfüllt sein.
Durch Umformung erhält man x1=-2 und x2=2.

Falscher Dampfer oder richtiger Pfad??

17.04.2011, 14:36

Mazze

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Mir ist nicht ganz klar was Du da machst. Du hast im Eingangspost y = x - x² geschrieben, redest aber jetzt fortwährend von y = 2x - x². Was ist denn nun richtig?

Zitat:

So muss für eine untere schranke s>=x gelten.

Das ist falsch. Eine untere Schranke ist stets kleinergleich den Elementen der Menge. Sprich es muss $\begin{eqnarray*} s \leq x \end{eqnarray*}$ gelten.

Zitat:

Da x für jedes Element aus M gilt ist x=+-unendlich

Was soll das bedeuten?

Zitat:

Angenommen es gibt eine reelle Zahl g mit g = { g € R | y=2x-x^2}.

Das ergibt keinen Sinn. Wenn g eine Zahl ist, kann g keine Menge sein. Und ansonsten erschließt sich mir auch nicht was Du hier vor hast.

Zur Beschränktheit :

Um zu zeigen, dass die Menge nach oben beschränkt ist, musst Du eine reelle Zahl z finden, so dass

$\begin{eqnarray*} z \geq x ~ \forall x \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

Um zu zeigen, dass die Menge nach unten unbeschränkt ist, musst Du zu jeder möglichen unteren Schranke s eine Zahl $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < s \end{eqnarray*}$ finden. (Sprich Du nimmst an s wäre eine untere Schranke von M, und findest dann eine Zahl in M, die kleiner als s ist, womit die Annahme dass s eine untere Schranke war sich als falsch heraus stellt.)

18.04.2011, 12:42

portfreak

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Danke für deine Korrektur! Also ich habe es mir mit einem Freund durch den Kopf gehen lassen und wir haben folgenden Ansatz:

Widerspruchsmethode zur unteren Schranke:

Annahme: M { y € R | Es gibt eine reelle Zahl x mit y = 2x-x^2}
ist nach unten beschränkt.

So muss es eine Zahl z € R < y € M geben, die die Menge nach unten beschränkt. Da aber x € R jedes y € M beschreiben kann, und y eine von x abhängige Parabel ist (die monoton stetig nach unten ist) kann es kein z < y existieren.

---------------

Ich habe mir gedacht, dass ich dazu noch versuche das Minimum zu widerlegen, was auch gegen eine untere Schranke spricht, einzubringen aber ich weiß nicht ob es Sinnvoll oder Sinnlos wäre ^^...

Wenn ein Minimum Sinnvoll ist, dann mit lim(x) probieren??

LG!

18.04.2011, 12:55

Mazze

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Zitat:

Ich habe mir gedacht, dass ich dazu noch versuche das Minimum zu widerlegen, was auch gegen eine untere Schranke spricht,

Das stimmt nicht. Die Menge (0,1] hat kein Minimum, wohl aber untere Schranken (zum Beispiel die 0).

Zitat:

So muss es eine Zahl z € R < y € M geben, die die Menge nach unten beschränkt.

Könnte man gerade noch akzeptieren. Allerdings muss $\begin{eqnarray*} z < y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ gelten.

Zitat:

Da aber x € R jedes y € M beschreiben kann, und y eine von x abhängige Parabel ist (die monoton stetig nach unten ist) kann es kein z < y existieren.

Das ist kein Beweis. Ihr versucht noch zu sehr eure Anschauung mit reinzubringen. Ihr müsst das Ganze auf einen klaren mathematischen Widerspruch zurückführen.

Nehmen wir also an, es gäbe eine untere Schranke z. Dann gilt also

$\begin{eqnarray*} z < 2x - x^2 ~ \forall x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch ein (von z abhängiges) x finden, dass diese Ungleichung nicht erfüllt. Denn dann kann z keine untere Schranke sein. (Warum nicht? ) Warum dürfen wir uns so ein x wählen?

18.04.2011, 13:16

portfreak

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Danke! Also zur Korrektur.

Angenommen: Untere Schranke z für y=2x-x^2 für y € R existiert. Dann gilt also
$\begin{eqnarray*} z < 2 x - x^{2} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Da x € R ist kann man für x = z einsetzen was die Ungleichung sofort widerlegen würde. Denn z kann nicht kleiner als 2*z - z^2 sein. Damit ist die Ungleichung widerlegt.

Richtig?

Zum letzten Teil der Aufgabenstellung: Maximum.
Kann ich mittels ermitteln des Scheitelpunktes das Maximum bestimmen? Wäre das dann noch Hochschulmatemathik? Ich hoffe ihr versteht was gemeint ist??

18.04.2011, 13:24

Mazze

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Zitat:

Denn z kann nicht kleiner als 2*z - z^2 sein

Ist das so? Was ist mit z = x = 1/10 ? Es gibt durchaus reelle Zahlen x , die diese Ungleichung erfüllen. Aber es gibt auch immer Zahlen , die diese Ungleichung nicht erfüllen, egal welches z man wählt. Und das ist auch der Punkt.

Zitat:

Kann ich mittels ermitteln des Scheitelpunktes das Maximum bestimmen? Wäre das dann noch Hochschulmatemathik? Ich hoffe ihr versteht was gemeint ist??

Im Prinzip ist es nicht falsch auf Schulwissen zurück zugreifen. Allerdings sollte trotzdem ein korrekter mathematischer Beweis am Ende dastehen. Ich würde einfach

$\begin{eqnarray*} 2x - x^2 < a \end{eqnarray*}$

für irgendein $\begin{eqnarray*} a \geq 1 \end{eqnarray*}$ beweisen.

18.04.2011, 14:16

portfreak

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D.h. für die beschränktheit: Dass sobald eine Zahl die Ungleichung nicht erfüllt, ist eine Beschränktheit nicht vorhanden?

Und zum MAximum zurück: Könnte man es hier mit Induktion beweisen oder nach welchen Beweisverfahren??

Danke!

18.04.2011, 14:26

Mazze

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Zitat:

D.h. für die beschränktheit: Dass sobald eine Zahl die Ungleichung nicht erfüllt, ist eine Beschränktheit nicht vorhanden?

Im Prinzip ja. Aber genauer :

Eine reelle Zahl z heißt untere Schranke einer Teilemenge M der rellen Zahlen, wenn für jede Zahl x aus M die Ungleichung $\begin{eqnarray*} z \leq x \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Ich denke das ist Dir klar.
Umgekehrt heißt dass, wenn ich zu jeder möglichen unteren Schranke z eine Zahl x aus M finde, mit $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ , dann kann es keine untere Schranke von M geben. Ist Dir das klar?

Zum Beweis : Wähle mal $\begin{eqnarray*} x = \frac{z}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und zum Maximum zurück: Könnte man es hier mit Induktion beweisen oder nach welchen Beweisverfahren??

Nein, Induktion funktioniert hier nicht.

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