Surjektivität

17.04.2011, 12:36

Amélie90

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Surjektivität

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich habe schon Kopfschmerzen wegen einer Aufgabe, die bestimmt mal wieder total einfach ist!!!

Also: Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N = \left\{1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen, und sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge der Zahlenpaare aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . D.h.
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N = \left\{ (a,b): a\in \mathbb N und b\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ . Können Sie eine Surjektion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden?

Meine Ideen:
Eine Surjetion wäre es ja dann, wenn Elemnte der Menge NxN mehrfach oder min. einmal von Elementen aus N getroffen werden.

17.04.2011, 13:07

Merlinius

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RE: Surjektivität

Zitat:

Original von Amélie90
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich habe schon Kopfschmerzen wegen einer Aufgabe, die bestimmt mal wieder total einfach ist!!!

Also: Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N = \left\{1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen, und sei $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge der Zahlenpaare aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . D.h.
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N = \left\{ (a,b): a\in \mathbb N und b\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ . Können Sie eine Surjektion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden?

Meine Ideen:
Eine Surjetion wäre es ja dann, wenn Elemnte der Menge NxN mehrfach oder min. einmal von Elementen aus N getroffen werden.

Ich denke, Du wolltest schreiben $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \longrightarrow \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$

Also Du sollst einfach nur die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ durchzählen, so dass du jedes Element erwischt. Eine Abbildung von N in irgendeine Menge ist ja nichts anderes als eine Folge mit natürlicher Indexmenge.

Also, was schonmal nicht geht, ist sowas $\begin{eqnarray*} (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)... \end{eqnarray*}$ , denn damit kommt man nie bei $\begin{eqnarray*} (1, 2) \end{eqnarray*}$ an. Also muss man irgendwie dafür sorgen, dass man immer wieder auch die zweite Koordinate erhöht.

Am besten zeichnest Du $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ mal tabellarisch auf, als Gitternetz, und schaust Dir an, wie Du diese Tabelle so durchlaufen kannst, dass Du alle Punkte irgendwann triffst.

17.04.2011, 13:13

Amélie90

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RE: Surjektivität
Ich weiß nicht ob ích es so verstanden habe wie du es meinst.
Aber wenn man jede Zahl mit nem "zickzack" Muster verbindet.

17.04.2011, 13:21

lgrizu

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RE: Surjektivität
Überprüfe doch einmal die beiden Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N,~(a,b) \to a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N,~(a,b) \to a \cdot b \end{eqnarray*}$ auf Surjektivität. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2011, 13:24

Merlinius

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RE: Surjektivität

Zitat:

Original von lgrizu
Überprüfe doch einmal die beiden Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N,~(a,b) \to a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N,~(a,b) \to a \cdot b \end{eqnarray*}$ auf Surjektivität. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \longrightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ gemeint? Dann wäre die Aufgabe ja trivial.

17.04.2011, 13:29

lgrizu

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RE: Surjektivität

Zitat:

Original von Merlinius

Also ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \longrightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ gemeint? Dann wäre die Aufgabe ja trivial.

Davon gehe ich einmal aus, genau weiß ich das natürlich nicht, dazu müsste Amelie noch nen bissel mehr mit uns sprechen, ich wollte eigentlich einmal aufzeigen, wie einfach man teilweise Abbildungen finden kann.

Edit: ...und entschuldige meine Einmischung, aber du wirst mir als offline angezeigt.

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17.04.2011, 16:55

sergej88

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Es ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\times \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
gemeint.

17.04.2011, 19:44

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von sergej88
Es ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\times \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
gemeint.

So, so! Und woher weißt Du das?
Wo steckt eigentlich Amelie?

17.04.2011, 19:48

lgrizu

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Bevor hier weiter gemutmaßt wird ist es erst einmal an Amelie, Stellung zu beziehen, wir brauchen uns nicht darüber unterhalten und so tun als wüssten wir, welchen Def und Bildbereich die Abbildung haben soll.

Sie hat außerdem für beide Varianten einen Lösungsansatz bekommen.

Zitat:

wenn Elemnte der Menge NxN mehrfach oder min. einmal von Elementen aus N getroffen werden.

Dieser Satz könnte darauf hinweisen, dass es sich tatsächlich um eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ handelt.

17.04.2011, 20:43

sergej88

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Zitat:

Original von Roman Oira-Oira

Zitat:

Original von sergej88
Es ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\times \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
gemeint.

So, so! Und woher weißt Du das?

Bei dem selben Dozenten habe ich auch mal Vorlesungen gehört und habe die Aufgaben auch auf seiner Homepage gefunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2011, 15:49

Mystic

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Ja, nachdem von der Gegenseite bislang keinerlei wirkliche Argumente gekommen sind, warum die surjektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gehen sollte (mit den Projektionen als Triviallösung!) und zuletzt auch Igrizu mit den Worten

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

wenn Elemnte der Menge NxN mehrfach oder min. einmal von Elementen aus N getroffen werden.

Dieser Satz könnte darauf hinweisen, dass es sich tatsächlich um eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ handelt.

vom Saulus zum Paulus mutiert ist, können wir nun das Thema, in welche Richtung die Abbildung nun geht, abhaken, auch wenn sich leider Amélie90 selbst nicht mehr dazu meldet... unglücklich

unglücklich

18.04.2011, 16:18

Amélie90

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Sorry, ich bitte vielmals um Verzeiung!!!
Ja, es geht um die von euch genannte Abbildung!

18.04.2011, 16:24

Mystic

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Zitat:

Original von Amélie90
Sorry, ich bitte vielmals um Verzeiung!!!
Ja, es geht um die von euch genannte Abbildung!

Ich nehme mal an, du beziehst dich damit auf die zuletzt genannte Version... Falls ich damit recht habe, ist dir das mit dem "Zickzack-Muster" (unter Mathematikern auch 1. Cantorsches Diagonalverfahren genannt) auch wirklich klar? verwirrt

verwirrt

18.04.2011, 16:36

Amélie90

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Mir ist leider noch gar nichts klar!!!
Wir hatten zwar allgemein den Beweis zur Surjektivität in der Vorlesung, aber ich weiß nicht wie ich das hier anwenden soll.

18.04.2011, 18:11

Merlinius

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Also ich vermute mal, dass ihr die Veranschaulichung dafür, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, in der Vorlesung hattet? Also Cantors erstes Diagonalargument?

Dann habt ihr doch sicher Brüche, die einen positiven Zähler und Nenner haben, in eine Tabelle geschrieben:

1/1 1/2 1/3...
2/1 2/2 2/3 ...
3/1 3/2 3/3 ...
. . .
. . .
. . .

und gezeigt, wie man diese Menge so durchlaufen kann, dass man irgendwann jede Zahl einmal erwischt, richtig?

Und das lässt sich jetzt 1:1 auf die gegebene Aufgabe übertragen. Anstatt n/m hast du nun halt (n, m) da stehen. Was aber im Prinzip das selbe ist.

Oder hast du sowas noch gar nicht gesehen? Wenn doch, an welcher Stelle hapert es mit dem Verständnis?

18.04.2011, 18:34

Mystic

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Zitat:

Original von Amélie90
Mir ist leider noch gar nichts klar!!!
Wir hatten zwar allgemein den Beweis zur Surjektivität in der Vorlesung, aber ich weiß nicht wie ich das hier anwenden soll.

Naja, habe mir gerade überlegt, dass das 1. Cantorsche Diagonalverfahren hier ein "overkill" wäre, da wir ja nur die Surjektivität der Abbildung brauchen...

Z.B. kann man jede positive ganze Zahl n eindeutig darstellen in der Form

$\begin{eqnarray*} n=2^{\nu_2(n)}3^{\nu_3(n)}\bar n \quad (\bar n \in \mathbb N^*, ggT(\bar n,6)=1) \end{eqnarray*}$

Wie könnte dann die gesuchte surjektive Abbildung aussehen?

18.04.2011, 19:57

Merlinius

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Also Cantors erstes Diagonalargument wurde bei uns damals in der ersten Woche im Vorkurs behandelt, das finde ich zumindest anschaulicher als dies.

Ich denke mal, der Sinn der Übung soll sein, sich nochmal das Diagonalargument zu veranschaulichen, deshalb wurde ja auch extra N\{0} als Menge gewählt.

Mir solls gleich sein Big Laugh

Big Laugh

Wobei es zugegebenermaßen schon nicht so trivial ist, die Surjektion tatsächlich anzugeben, die sich aus dem Diagonalargument ergibt.

18.04.2011, 20:24

Mystic

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Wie gesagt, wenn eine bijektive Abbildung gesucht wäre, wäre für mich das auch erste Wahl... Aber surjektive Abbildungen, und zwar in expliziter Darstellung, lassen sich hier doch wesentlich einfacher angeben... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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