Matrixbestimmung aus Polynomfunktion

17.04.2011, 12:04

Hummel

Matrixbestimmung aus Polynomfunktion

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich sitz hier gerade an einer Aufgabe und weiß leider gar nichts damit anzufangen...

Also
Sei K ein Körper und sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wir betrachten die Auswertungsabbildung ev: K[X] zur M 2x2 (K) definiert durch $\begin{eqnarray*} f\Rightarrow f(A) \end{eqnarray*}$

Bestimme die Matrix ev: (X²-(a+d)X+det(A))

Meine Ideen:
Also...

ich glaub ich weiß gar nicht wirklich was diese Auswertungsabbildung überhaupt macht...?
Kann ich das so verstehen, dass das Polynom auf eine Matrix geschickt wird oder dass das Matrix das Polynom beschreibt?

f(A) kenn ich nur als x-----> Ax

ICh hab schon versucht die Nullstelle des Polynoms zu berechnen und diese dann als x zu sehen und mit der Matrix A zu multiplizieren aber hmm ich hab halt leider keine Ahnung was hier gefragt ist unglücklich

17.04.2011, 12:23

Mazze

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Das sollte man wohl mal ordentlich hinschreiben :

$\begin{eqnarray*} g : \mathbb{K}[x] \to \mathbb{K}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \mapsto f(A) \end{eqnarray*}$

Für ein Polynom p ist dann also

$\begin{eqnarray*} g(p) = p(A) \end{eqnarray*}$

Zitat:

ICh hab schon versucht die Nullstelle des Polynoms zu berechnen

Warum solltest Du das tun? Davon steht doch nichts in der AUfgabe.

Was Du jetzt tust? Du setzt die Matrix A in das Polynom $\begin{eqnarray*} p(X) = X^2 - (a+d)X + \det(A) \end{eqnarray*}$

ein, und rechnest das Ganze dann aus.

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