Zyklischer Modul

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math_mrg Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklischer Modul
Meine Frage:
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:
Seien .

Betrachte als Q[X]-Modul mit der Addition und Skalarmultiplikation von V und mit Xv=Av für alle V\in V.

Man bestimme in Abhängigkeit von a und b ob V ein zyklischer Q[X]-Modul ist.

Meine Ideen:
Prinzipiell habe ich Schwierigkeiten diese Aufgabe zu verstehen^^

Ich weiß, was ein zykl. Modul ist (V=Rv für ein v\in V, hier also ), weiß aber nicht, wie ich das hier anwenden soll...

Verstehe ich das richtig, dass die Elemente aus V quasi stinknormale Polynome sind, beidenen einfach statt z.B. X^2+X+1 dann A^2+A+1 steht?? Also quasi das A die Variable ist??

Wie zeige ich, dass das ein zyklischer Modul ist??

Könntet ihr mir helfen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zyklischer Modul
Zitat:
Verstehe ich das richtig, dass die Elemente aus V quasi stinknormale Polynome sind, beidenen einfach statt z.B. X^2+X+1 dann A^2+A+1 steht??

Nein, V ist der , enthält also Elemente der Form mit .

Darauf operiert "quasi" der Ring . Es ist nur ein wenig anders geschrieben.

Gruß,
Reksilat.
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zyklischer Modul
Hallo,
ich habe genau die gleiche Aufgabe.
Wenn ich das richtig verstehe brauche ich ja die Präsentierungsmatrix, um überhaupt zu folgern, dass V ein zyklischer Q[X]-modul ist. (Zumindest steht das so in meinem Skript: Sei V ein zyklischer R-Modul. Dann hat V eine Präsentierungsmatrix (a11) = A.)

Mein Problem ist jetzt, wie komme ich an die Präsentierungsmatrix?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zyklischer Modul
Zitat:
Wenn ich das richtig verstehe brauche ich ja die Präsentierungsmatrix,...
(Zumindest steht das so in meinem Skript: Sei V ein zyklischer R-Modul. Dann hat V eine Präsentierungsmatrix (a11) = A.)

Beschäftige Dich lieber noch mal mit Aussagenlogik. Aus der Existenz einer Präsentierungsmatrix lässt sich mit obiger Aussage nämlich gar nichts folgern.

Als Tipp: Nimm Dir einen beliebigen festen Vektor aus und schaue Dir die Bahn dieses Vektors an. (Also auf welche Vektoren können Summen von Potenzen von diesen Vektorr abbilden?)

Gruß
Reskilat
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!
Also ich habe das mal versucht so umzusetzen, wie ich denke, dass es gemeint war.

Ich habe mir einen festen Vektor aus V rausgesucht und wollte dann zeigen, dass er Erzeuger des ist.
Soweit bin ich da gekommen:



Aber ich weiss jetzt leider nicht, ob das überhaupt so stimmt und falls ja, wie ich jetzt dann zeige, dass er jedes Element des erzeugt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht doch gut aus...
Bei Dir ist eine natürliche Zahl, also nicht negativ, nicht gebrochen, ...
Augenzwinkern
 
 
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man nimmt, ist doch für jedes . Wenn ich diese Potenzen von aufsummiere bekomme ich ja für irgendeine natürliche Zahl.
Und wenn ich diese dann mit multipliziere kommt ja immer nur eine natürliche Zahl heraus, also würde das ja heißen, dass mein nicht alleine den erzeugt.
Stimmt das so, oder denke ich da gerade komplett falsch?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mich hier nicht groß einmischen, aber der Ring ist und nicht .
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