Ökonometrie, Matrizen

17.04.2011, 15:13	Heinzelmann3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ökonometrie, Matrizen Hallo, es geht hier um eine Ökonometrie-Vorlesung, daher war ich mir bei der Themenzuordnung nicht ganz sicher... Also zur Aufgabe:. Es sei Y~ $\begin{eqnarray} N(0_n, I_n) \end{eqnarray}$ (wobei I_n die Einheitsmatrix, 0_n der n-dim. Nullvektor und $\begin{eqnarray} Y \in IR^n \end{eqnarray}$ sind) d.h. also, dass der Erwartungswert von Y IE(Y)=0 ist (also IE(Y_i)=0 für alle i=1,...,n) und die Kovarianzmatrix von Y ist gleich der Einheitsmatrix, d.h. $\begin{eqnarray} cov(Y_i,Y_i)=1, cov(Y_i,Y_j)=0, i \not= j \end{eqnarray}$ . Außerdem haben wir gegeben: $\begin{eqnarray} Z_1=Y^TAY, Z_2=Y^TBY, Z_3=c^TY \end{eqnarray}$ . 1) hier ist zu zeigen: Aus AB= $\begin{eqnarray} 0_{n,n} \end{eqnarray}$ folgt, dass Z1 und Z2 unabh. sind. erstmal eine allgemeine Überlegung, wüsste gern, ob die richtig ist: wenn Z1, Z2 abh. sind, heißt das doch: es ex. eine reelle Zahl v außer Null mit Z1=vZ2. d.h. also, dass Z1 und Z2 gleiche Dimension besitzen. Laut Def. dieser beiden, müssten also auch A und B gleiche Dimension haben, mit AB= $\begin{eqnarray} 0_{n,n} \end{eqnarray}$ also beide quaratisch mit Dimension nxn. Oder? aber weiter: ich dachte an einen Widerspruchsbeweis: Ich nehme an, Z1, Z2 seien abh., heißt also es ex. dieses v mit Z1=vZ2, eingesetzt: $\begin{eqnarray} Y^TAY=vY^TBY \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} Y^TAY=Y^TvBY \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} A=vB \end{eqnarray}$ , also A und B sind abh. Ich weiß zwar nicht, ob das was bringt, aber nun könnte ich einsetzen: $\begin{eqnarray} AB=vBB \end{eqnarray}$ und das darf nicht Null werden können, dann hätte ich den Beweis. Nullwerden kann es, wenn B nilpotent (also B^2=0) ist oder sogar selbst die Nullmatrix ist. Aber wieso kann das nicht gelten? Oder bin ich ganz und gar auf dem Holzweg? Bitte um Antworten. Es gehört noch ein ähnlicher Teil dazu: 2) aus $\begin{eqnarray} c^TA=0_n \end{eqnarray}$ folgt, dass Z1 und Z3 unabh. sind. Hierzu fällt mir aber ehrlich gesagt auch nicht mehr ein als zu 1). Zu guter letzt will ich den dritten Teil nicht verschweigen, vl wisst ihr gerade dazu etwas: 3) aus A idempotent (d.h. A^2=A) und rg(a)=r folgt Z1~ $\begin{eqnarray} \chi_r^2 \end{eqnarray*}$ . Aber hier hab ich so gar keine Ahnung, haben in Stochastik so gut wie nichts von der Chi-Quadrat-Verteilung gehabt. Vielen Dank schonmal! LG, HM3
18.04.2011, 08:57	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Beweise sind nicht so ganz trivial. Der erste Satz mit Unterpunkt ist von Craig Sakamoto. Du musst ausnutzen das 0=AB ist und das A u B positiv definite symmetrische Matrizen sind. Diese kann man Faktorisieren und bekommt dann mit viel hin und her eine Kette 0=AB=...= Cov(,) . Damit zeigt man, dass Z1 und Z2 unabhängig sind. (Also Kovarianz gleich 0). Leider habe ich gerade keine Zeit es ausführlicher zu erklären. Vielleicht googelst du mal. Diese Sätze braucht man immer wieder um z.B. die Unabhängigkeit von Zähler und Nenner in Teststatistiken zu zeigen. Kann man schon beim t-Test heranziehen. Gruß
18.04.2011, 21:57	Heinzelmann3	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für diese Antwort. Jetzt weiß man schonmal eine Richtung. Leider hat mich der Tipp, dass es sich hier um den Satz eines gewissen Craig Sakamoto handelt, nicht weiter gebracht. Ich sehe ehrlich gesagt den Zusammenhang zu meiner Aufgabe nicht... hab es jetz nicht im Kopf, aber der Satz sagt irgendetwas mit Determinanten von der Differenz der Einheitsmatrix mit noch was...wie gesagt, habs vergessen könntest du oder jemand anders es vl doch nochmal ausführlicher erklären? Das würde mir sehr helfen! LG

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