Skalarprodukt Basis in Diagonalgestalt

17.04.2011, 13:48	blingbang	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Basis in Diagonalgestalt Hallo, ich bräuchte eine kurze "Einführung" zu folgender Aufgabe: Auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sei bezüglich der Standardbasis ein Skalarprodukt gegeben: $\begin{eqnarray} F((a_{1},a_{2},a_{3}),(b_{1},b_{2},b_{3}))=8a_{1}b_{1}-4a_{1}b_{3}+4a_{2}b_{2}-4b_{1}a_{3}+5b_{3}a_{3} \end{eqnarray}$ Finden Sie eine Basis dass $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},a_{3} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , so dass die Fundamentalmatrix des Skalarprodukts bezüglich dieser Basis Diagonalgestalt hat. #### Jetzt würde ich hier das Gram-Schmidt Verfahren anwenden wollen. Dazu brauche allerdings erstmal die Vektoren die das Skalarprodukt erzeugen. Wie kann ich zu der obigen Funktion die Matrix aufstellen?
17.04.2011, 15:47	blingbang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme leider nicht so recht weiter. Wie kann ich denn zu dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} F((a_{1},a_{2},a_{3}),(b_{1},b_{2},b_{3}))=8a_{1}b_{1}-4a_{1}b_{3}+4a_{2}b_{2}-4b_{1}a_{3}+5b_{3}a_{3} \end{eqnarray}$ eine Matrix bestimmen? Ist das überhaupt nötig? Ich suche Vektoren um mit dem Gram-Schmidt Algorithmus eine orthogonale Basis zu bestimmen. Richtig?
18.04.2011, 07:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt Basis in Diagonalgestalt Hi blingblang, Ein Skalarprodukt wird nicht "von Vektoren erzeugt". Das ergibt keinen Sinn. Du könntest jetzt natürlich den Gram-Schmidt anwenden. Dabei startest Du mit Deiner bisherigen Basis (also der Standardbasis) und arbeitest den Algorithmus ganz normal durch, wobei Du als Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle.\,,.\rangle \end{eqnarray}$ eben immer $\begin{eqnarray} F(.\,,.) \end{eqnarray}$ einsetzt. Alternativ kannst Du auch versuchen, Dein Skalarprodukt in der Form $\begin{eqnarray} F(v,w)=v^TAw \end{eqnarray}$ darzustellen. Dazu musst Du nur eine symmetrische 3x3-Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ finden, die diese Identität für alle $\begin{eqnarray} v,w\in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ erfüllt. Das ist gar nicht so schwer und wenn man es schon einmal gemacht hat, sieht man $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit einem Blick. Dann sucht man eine Basis, bezüglich der $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Diagonalgestalt hat. Zum Beispiel eine Basis aus Eigenvektoren. Gruß, Reksilat.

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