arithmetisches Milttel

17.04.2011, 16:44

sugar_math

arithmetisches Milttel

hi, könnt ihr mir vielleicht helfe. Also wie kann man beweisen :

$\begin{eqnarray*} \overline {X}_n = \int \! x \, F_n(dx) \end{eqnarray*}$
Danke im Voraus.

17.04.2011, 18:59

HAL 9000

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Ich nehme mal an, mit $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ meinst du die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe, und mit $\begin{eqnarray*} \overline{X_n} \end{eqnarray*}$ den Mittelwert dieser Stichprobe? Letzteres mag ja noch üblich sein, aber $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ kann ansonsten nun wirklich alles mögliche bedeuten, also wäre es eigentlich deine Pflicht gewesen, das hier zu erläutern.

(Lebesgue-)Stieltjes-Integrale sind Schulmathematik? Respekt! Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion, für die solche Integrale besonders leicht zu berechnen sind...

17.04.2011, 19:43

Zellerli

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HAL9000

Zitat:

(Lebesgue-)Stieltjes-Integrale sind Schulmathematik? Respekt!

Noch nie einen Vulkanier bei der Analysis gesehen? Big Laugh

Ich verschiebe das mal...

17.04.2011, 21:05

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich nehme mal an, mit $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ meinst du die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe, und mit $\begin{eqnarray*} \overline{X_n} \end{eqnarray*}$ den Mittelwert dieser Stichprobe? Letzteres mag ja noch üblich sein, aber $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ kann ansonsten nun wirklich alles mögliche bedeuten, also wäre es eigentlich deine Pflicht gewesen, das hier zu erläutern.

Wenn die Sache Sinn ergeben soll, dann kann $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ nicht die empirische Verteilungsfunktion sondern nur die empirische Dichtefunktion sein, die man dann eher $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nennen sollte. In dem Sinne wäre $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ dann eine Summe von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktionen multipliziert mit den relativen Häufigkeiten, mit denen die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ auftreten. Und, den Umgang mit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktionen vorausgesetzt, führt das Integral dann trivial zu dem behaupteten Ergebnis.

17.04.2011, 22:21

sugar_math

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Danke für eure schnellen Antworte. $\begin{eqnarray*} \overline{F}_n \end{eqnarray*}$ ist die empirische Verteilungsfunktion .

17.04.2011, 22:23

sugar_math

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sorry, ich meine $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$

17.04.2011, 23:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Wenn die Sache Sinn ergeben soll, dann kann $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ nicht die empirische Verteilungsfunktion sondern nur die empirische Dichtefunktion sein

Du kennst aber schon den Begriff "Stieltjes-Integral" und die damit verbundene Schreibweise, oder nicht? smile

Eine "empirische Dichtefunktion" (bzgl. des Lebesgue-Maßes) gibt es im mathematischen Sinne gar nicht, da das hinter der empirischen Verteilungsfunktion stehende diskrete Maß nicht absolutstetig bzgl. des Lebesguemaßes ist. Ok, die Physiker haben dafür das Hilfskonstrukt der Dirac-Funktion erfunden, aber sauber ist das nicht.

Kurzum: $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ist in diesem Kontext die empirische Verteilungsfunktion, anscheinend hast du $\begin{eqnarray*} F_n(dx) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_n(x) ~ dx \end{eqnarray*}$ verwechselt (letzteres wäre in der Tat hier unpassend). Augenzwinkern

18.04.2011, 08:18

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
[quote]Original von Huggy
Ok, die Physiker haben dafür das Hilfskonstrukt der Dirac-Funktion erfunden, aber sauber ist das nicht.

Die Mathematiker haben doch der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion als Funktional sauberes mathematisches Leben eingehaucht.

Zitat:

anscheinend hast du $\begin{eqnarray*} F_n(dx) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_n(x) ~ dx \end{eqnarray*}$ verwechselt (letzteres wäre in der Tat hier unpassend). Augenzwinkern

Diese Feinheit der Schreibweise habe ich tatsächlich überlesen.

18.04.2011, 08:43

René Gruber

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Zitat:

Original von Huggy
Die Mathematiker haben doch der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion als Funktional sauberes mathematisches Leben eingehaucht.

Nein, nicht der Dirac-Funktion - allenfalls der Dirac-Distribution. Augenzwinkern

18.04.2011, 09:13

Huggy

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Huggy
Die Mathematiker haben doch der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion als Funktional sauberes mathematisches Leben eingehaucht.

Nein, nicht der Dirac-Funktion - allenfalls der Dirac-Distribution. Augenzwinkern

Ein typischer René Gruber!

Dieses Konstrukt wird auch heute noch sehr häufug als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion bezeichnet, auch wenn es keine Funktion im eigentlichen mathematischen Sinn ist. Das ist nicht illegal oder falsch. Und im englischen Sprachgebrauch ist meines Weisens 'delta function' der übliche Sprachgebrauch.

18.04.2011, 09:56

René Gruber

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Ehrlich gesagt habe ich noch nie in der Stochastik gesehen, dass da jemand mit Dirac-Distributionen arbeitet: Natürlich könnte man diese Theorie auch hier aufziehen, aber wozu? Das Dirac-Maß tut es auch, warum zum Teufel brichst du hier diese Diskussion vom Zaun, die hier total überflüssig ist?

18.04.2011, 10:04

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du kennst aber schon den Begriff "Stieltjes-Integral" und die damit verbundene Schreibweise, oder nicht? smile

Ich dachte ja, zumindest im Prinzip. Aber anscheinend ist meine Erinnerung doch zu verschwommen oder gar falsch. Deshalb frage ich mal nach. Meiner Erinnerung nach bedeutet

$\begin{eqnarray*} \int f ~dh \end{eqnarray*}$

das Stieltjes-Integral über die Funktion f mit der Gewichtsfunktion h. In der Definition des Integrals über Ober- und Untersummen würden dann anstelle der Faktoren

$\begin{eqnarray*} (x_{i+1}-x_i) \end{eqnarray*}$ die Faktoren $\begin{eqnarray*} (h(x_{i+1})-h(x_i)) \end{eqnarray*}$ stehen. Damit hätte ich

$\begin{eqnarray*} \int f ~(dx) \end{eqnarray*}$

als Stieltjes-Integral mit Gewichtsfunktion x interpretiert und das wäre das ganz gewöhnliche Riemann-Integral. Ich bin verwirrt.

18.04.2011, 10:15

René Gruber

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Sofern $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, oder zumindest stetig und f.ü. differenzierbar, dann kann man ja auch

$\begin{eqnarray*} \int g(x) ~ h(\dd x) = \int g(x)h'(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

schreiben, und ist bei einem wirklichen Riemannintegral, wobei $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Gewichtsfunktion ist. Ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ jedoch unstetig, d.h. mit "Sprüngen" wie hier, dann kann man das Stieltjes-Integral nicht so umschreiben.

18.04.2011, 10:29

Huggy

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Ich glaube, so allmählich verstehe ich die Schreibweise.

$\begin{eqnarray*} \int xF_n ~(dx) \end{eqnarray*}$

soll also nicht bedeuten, dass man die Funktion $\begin{eqnarray*} xF_n \end{eqnarray*}$ mit Gewichtsfunktion x integriert, sondern dass man die Funktion x mit Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ integriert. Ist das richtig?

18.04.2011, 10:41

René Gruber

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Ich hab gewisse Probleme damit, das als Gewichtsfunktion zu bezeichnen, aber ein Blick in die Wikipedia bestätigt diese deine Auffassung. Augenzwinkern

EDIT: Ok, man muss eben begrifflich deutlich zwischen Gewicht und Gewichtsfunktion unterscheiden, das habe ich bisher nicht getan. verwirrt

18.04.2011, 13:35

Huggy

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@ sugar_math

Nachdem ich durch meine dümmlichen Anmerkungen von deiner Frage abgelenkt habe, ist mir unklar, ob sie für dich durch die Antwort von HAL 9000 beantwortet ist. Scheue dich nicht nachzuhaken, falls noch Unklarheiten bestehen.

@ René und HAL

Mein letzter aktiver Kontakt mit dem Stieltjes-Integral liegt lange zurück. Anscheinend gibt es da heute neue Schreib- und Sprechweisen. Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mich da mal auf den aktuellen Stand bringen könntet, der offenbar auch nicht aus der Wikipedia ersichtlich ist.

Wie schon gesagt, kenne ich das Stieltjes-Integral in der Schreibweise

$\begin{eqnarray*} (*) \quad \int f ~dh \end{eqnarray*}$

mit der Sprechweise von h als Gewichtsfunktion.

(1) Wenn man nun h heutzutage nicht mehr als Gewichtsfunktion bezeichnet, wie nennt man das jetzt?

(2) Im Sinne der mir bekannten Schreibweise hätte ich das Integral des Fragestellers, so ich es jetzt korrekt verstanden habe, so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int x ~dF_n \end{eqnarray*}$

Wenn man das heutzutage so schreibt, wie es der Fragesteller getan hat, würde die allgemeine Schreibweise für das Stieltjes-Integral (*)

$\begin{eqnarray*} \int f \cdot h ~(dx) \end{eqnarray*}$

lauten. Wenn da nun statt f und h konkrete Funktionen stehen, frage ich mich, wie man in dieser Schreibweise dann f und h auseinanderhält.

18.04.2011, 13:42

René Gruber

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Ich kenne es so, dass die Schreibweisen

$\begin{eqnarray*} \int x ~ \dd F_n = \int x ~ \dd F_n(x) = \int x F_n(\dd x) \end{eqnarray*}$ ,

sämtlich als äquivalent zu betrachten sind (wobei ersteres klar ein Lebesgue-, also kein Riemann-Stieltjes-Integral darstellen dürfte), aber unterscheiden sich inhaltlich von dem anderen $\begin{eqnarray*} \int xF_n(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich muss jetzt mal (sinngemäß) ein Zitat aus dem Spielfilm "Heat" anbringen: "Bei denen löst jeder Furz gleich einen Orkan aus." Augenzwinkern

18.04.2011, 13:58

Huggy

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Zitat:

Original von René Gruber
P.S.: Ich muss jetzt mal (sinngemäß) ein Zitat aus dem Spielfilm "Heat" anbringen: "Bei denen löst jeder Furz gleich einen Orkan aus." Augenzwinkern

Das nehme ich mal mit gelassener Ironie zur Kenntnis.

Es beantwortet zwar meine konkreten Fragen nicht, die durchaus Ernst gemeint waren. Es wirft sogar die neue Frage auf, woran man erkennt dass

$\begin{eqnarray*} \int x ~dF_n \end{eqnarray*}$

klar eine Lebesgue- und kein Stieltjes-Integral ist? Aber da erwarte ich mir nach deinen jetzigen Reaktionen auch keine vernünftige Antwort.

Falls du Furz auf deine früheren Anmerkungen beziehst, so möchte ich mich da jeglicher Stellungnahme enthalten.

18.04.2011, 14:56

René Gruber

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Wer wird denn gleich so beleidigt sein. Ich finde nur, dass wir uns ganz schön vom Thema wegbewegen mit sinnlosen Formfragen.

Ich komme besser mal zum Thema zurück. Man muss sich doch nur die Stieltjesintegral-Definition mal genauer ansehen, dann sieht man, was für stückweise konstante Gewichtsfunktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bei diesen Ober-und Untersummen und damit dann letztlich dem Integralwert passiert:

Für stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \int f(x) ~ h(\dd x) = \sum_{x\in U(h)} f(x)\cdot (h(x+0)-h(x-0)) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} U(h) \end{eqnarray*}$ die (endliche oder abzählbar unendliche) Menge der Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umfasst.

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