Projektionsmatrix

17.04.2011, 16:04	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektionsmatrix Sei $\begin{eqnarray} A \in M(m \times n, \mathbb R) \end{eqnarray}$ . Hierbei sei $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ invertierbar und $\begin{eqnarray} P := A(A^TA)^{-1}A^T \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: (i) $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ist ein Projektor mit $\begin{eqnarray} im P = im A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ker P = kerA^T \end{eqnarray}$ . ... $\begin{eqnarray} P^2=A\underbrace{(A^TA)^{-1}A^TA}_{=E_n}(A^TA)^{-1}A^T= P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} im P = im A \end{eqnarray}$ zu zeigen bereitet mir Probleme. Habe bisher die eine Richtung und Frage mich ob ich hier nicht eigentlich eine Äquivalenz gezeigt habe, und deswegen nichts mehr zeigen muss. Sei $\begin{eqnarray} x \in im A \Rightarrow \exists y \in \mathbb R^n:Ay=x \end{eqnarray}$ Dann multipliziere ich von links P: $\begin{eqnarray} PAy=Px \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow A(A^TA)^{-1}A^TAy=Px \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow Ay=Px \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=Px \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x \in im P \end{eqnarray}$ Gruß
18.04.2011, 06:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektionsmatrix Hi LoBi, $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ist ja im Allgemeinen nicht invertierbar und insofern folgt aus $\begin{eqnarray} PAy=Px \end{eqnarray}$ noch nicht, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Bild von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ liegt. Die Umkehrung geht hier also nicht auf diesem Weg. Allerdings ist die andere Inklusion kein großes Problem, wenn Du Dir überlegst, dass ja $\begin{eqnarray} P=A(A^TA)^{-1}A^T \end{eqnarray}$ ist und da ganz links ein $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ steht. Bei der Auswertung von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ auf ein Argument $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wird deshalb zuletzt das $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ angewandt und somit ist automatisch $\begin{eqnarray} {\rm im} P\subseteq{\rm im} A \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
18.04.2011, 09:41	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Ich hatte mir noch folgendes überlegt: Ich multipliziere von rechts $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und habe dann: $\begin{eqnarray} PA=A \Rightarrow im PA =im A \end{eqnarray}$ Dann gilt : $\begin{eqnarray} im P \subseteq im PA = im A \end{eqnarray}$ (?) Ich glaube die letzte Teilmengenbeziehung ist andersrum $\begin{eqnarray} im PA=imA \subseteq im P \end{eqnarray}$ Das wäre dann ein Beweis für die andere Richtung. Ich überlege noch wie ich deine "Idee" schön formulieren kann. Ein Versuch: Sei $\begin{eqnarray} x \in P \Rightarrow x=Px \end{eqnarray}$ Außerdem Sei $\begin{eqnarray} y=(A^TA)^{-1}A^Tx \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} Ay=x \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} {\rm%20im}%20P\subseteq{\rm%20im}%20A \end{eqnarray}$ Irgendwie ein bischen wackelig Gruß
18.04.2011, 09:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in P \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn. Du kannst aber $\begin{eqnarray} z\in{\rm im} P \end{eqnarray}$ annehmen, also $\begin{eqnarray} z=A(A^TA)^{-1}A^Tx \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Dann ist mit dem von Dir definierten $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} z=Ay \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} z\in{\rm im} A \end{eqnarray}$ Allgemein gilt für alle Abbildungen $\begin{eqnarray} {\rm im} f\supseteq {\rm im}(f\circ g) \end{eqnarray}$ (jedenfalls solange die Hintereinanderausführung definiert ist.)
18.04.2011, 10:01	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte eigentlich $\begin{eqnarray} x \in im P \end{eqnarray}$ heissen. $\begin{eqnarray} x \in im P \Leftrightarrow x=Px \end{eqnarray}$ gilt ja weil P ein Projektor ist. Ich bedanke mich Gruß

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