Kontinuitätsgleichung

17.04.2011, 20:15	Hendrixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontinuitätsgleichung Meine Frage: Hallo, ich habe hier ein kleines Problem mit einer aufgabestellung, bin kein Mathematiker deshalb nicht so ganz mit den Schreibweisen vertraut... (Sei ein konstantes Geschwindigkeits $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ gegeben. Gesucht wird eine Dichteverteilung $\begin{eqnarray} \rho:\mathbb R \mathbb R ^{3} ->\mathbb R \end{eqnarray}$ , die die Kontinuitätsgleichung erfüllt.) Zeige, dass für jeden Punkt $\begin{eqnarray} (t,\vec{x} )\in \mathbb R \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ die gesuchte Dichteverteilung $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ konstant entlang der Gerade $\begin{eqnarray} (t+s,\vec{x} +s\vec{u} ),s\in \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Hinweis: Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray} z(s):=\rho(t+s,\vec{x} +s\vec{u} ) \end{eqnarray}$ und zeige, dass z'(s)=0 gilt. Meine Ideen: Ich habe natürlich verstanden was man machen muss aber ich bin mit der Mathematik und ihren Schreibweisen hier überfordert. Also theoretisch muss ich hier die Kettenregel zur Ableitung benutzen. $\begin{eqnarray} \frac{dz}{ds} = \frac{\delta z}{\delta (t+s)}\frac{d(t+s)}{ds} +\frac{\delta z}{\delta (\vec{x} +s\vec{u})}\frac{d(\vec{x} +s\vec{u})}{ds} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{ds} = \frac{\delta z}{\delta (t+s)}1 +\frac{\delta z}{\delta (\vec{x} +s\vec{u})}\vec{u} \end{eqnarray*}$ Aber ich weiß nicht wie ich jetzt zeigen kann, dass das =0 ist, bzw. wie ich weitermachen soll. Danke für eure hilfe
17.04.2011, 20:47	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie sieht die Kontinuitätsgleichung aus? Benutze diese Gleichung um den Hinweis nachzurechnen. mfg
17.04.2011, 21:52	Hendrixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kontinuitätsgleichung lautet, $\begin{eqnarray} \frac{\delta \rho }{\delta t} + \bigtriangledown \rho \vec{u} = 0 \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich dass jetzt ausrechnen kann, wenn ich die Funktion z für $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray*}$ einsetze.. wonach würde ich denn dann beim Gradienten ableiten? Nach t oder nach t+s? Danke schonmal
17.04.2011, 22:07	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \rho = \rho(t, x_1,x_2,x_2) \end{eqnarray}$ hat 4 Komponenten. Damit folgt nach der Kettenregel $\begin{eqnarray} <br /> z'(s) = \frac{\partial \rho}{\partial t}(x + su)\frac{\partial (t+s)}{\partial s} + grad(\rho)(t+s, x + su)\cdot \frac{\partial (x + su)}{\partial s}<br /> \end{eqnarray}$ wobei die letzte Multiplikation als Skalarprodukt zu lesen ist.
17.04.2011, 22:34	Hendrixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das nicht ziemlich genau das, was ich schonmal ganz am Anfang aufgeschrieben hatte ( du hast jetzt anstatt z nur $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ geschrieben) ? Sorry aber ich steh hier gerade ziemlich auf dem Schlauch... bin mir immernoch nicht sicher wie ich von dort aus weitermache..
18.04.2011, 10:20	Hendrixx	Auf diesen Beitrag antworten »
ah alles klar hab mich nur von deiner Schreibweise ein bisschen verwirren lassen, habe es verstanden und gelöst. Danke
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