Körperisomorphismus R -> C

17.04.2011, 23:33

someone[ger]

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Körperisomorphismus R -> C

Guten Abend.

Zu beweisen oder widerlegen ist, dass es einen Körperisomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt.

Ich würde sagen, es gibt keinen.

Beweis:

Man bildet zum Beispiel jede Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf die entsprechende Zahl in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit Imaginärteil 0 ab.

Damit hat man jede Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ "verarbeitet", aber noch lange nicht alle komplexen Zahlen getroffen.

Also kann ein solche Abbildung nicht injektiv sein.

Finds irgendwie schlüssig, aber als Korrekteur würde ich dazu schreiben "Damit hast du bewiesen, dass es EINE Abbildung gibt, die kein Körperisomorphimus ist."

Was meint ihr, reicht das oder braucht es mehr?

17.04.2011, 23:36

tmo

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Deine eigene Kritik an dem "Beweis" ist angebracht.

Nehme mal ein es gibt einen solchen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=i \end{eqnarray*}$ .

Was ist dann $\begin{eqnarray*} \varphi(x^2) \end{eqnarray*}$ ? Und warum ist das ein Widerspruch?

17.04.2011, 23:41

someone[ger]

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Zitat:

Original von tmo
Was ist dann $\begin{eqnarray*} \varphi(x^2) \end{eqnarray*}$ ? Und warum ist das ein Widerspruch?

Ich würde sagen, das wäre dann $\begin{eqnarray*} i² \end{eqnarray*}$ .

Und da die komplexen Zahlen definiert sind als

$\begin{eqnarray*} a + b \cdot i \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wäre das ein Widerspruch weil $\begin{eqnarray*} 0 + i² \end{eqnarray*}$ nach obiger Definition kein Element der komplexen Zahlen sein kann.

Richtig? verwirrt

verwirrt

17.04.2011, 23:46

tmo

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Warum sollte $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ keine komplexe Zahl sein? verwirrt

verwirrt

Wir reden hier doch von einem Körper.

Aber was ist denn $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ ? Das solltest du aber wissen.

17.04.2011, 23:49

someone[ger]

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Zitat:

Original von tmo
Warum sollte $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ keine komplexe Zahl sein? verwirrt

verwirrt

Wir reden hier doch von einem Körper.

Aber was ist denn $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ ? Das solltest du aber wissen.

Ja, meine Idee war murks.

$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Abbildung aber nicht injektiv.

Das stimmt jetzt aber, oder? traurig

traurig

17.04.2011, 23:52

tmo

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Zitat:

Original von someone[ger]
Damit wäre die Abbildung aber nicht injektiv.

Weil welches Element schon auf die -1 abgebildet wird?

Und warum kann $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nicht dieses Element sein?

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18.04.2011, 00:03

someone[ger]

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von someone[ger]
Damit wäre die Abbildung aber nicht injektiv.

Weil welches Element schon auf die -1 abgebildet wird?

Und warum kann $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nicht dieses Element sein?

In einem Körperraumisomorphimus werden die 1-Elemente aufeinander abgebildet.

Sei $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ dieses Element, also gelte $\begin{eqnarray*} \varphi(x')=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte jetzt gesagt daraus folgt $\begin{eqnarray*} \varphi(-x') = -1 \end{eqnarray*}$

Denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} \varphi(ax')=a\varphi(x') \end{eqnarray*}$ .

Da aber $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ positiv ist, ist $\begin{eqnarray*} -x' \end{eqnarray*}$ negativ.

Weil $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ positiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} -x' \neq x² \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

18.04.2011, 09:44

someone[ger]

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Das mit dem $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ war glaube ich etwas umständlich.

Einfacher wäre:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(1_{\mathbb R})=1_{\mathbb C} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \varphi(-1) = \varphi((-1)(1_{\mathbb R})) = (-1) \cdot \varphi(1_{\mathbb R}) = -1 \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ positiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} -1 \neq x² \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

18.04.2011, 10:39

Mystic

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Zitat:

Original von someone[ger]
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \varphi(-1) = \varphi((-1)(1_{\mathbb R})) = (-1) \cdot \varphi(1_{\mathbb R}) = -1 \end{eqnarray*}$

Um mit deinen Worten zu sprechen: Das war jetzt murks... unglücklich

unglücklich

Offenbar verwendest du in diesem Beweis zwischendurch gerade

$\begin{eqnarray*} \varphi(-1)=-1 \end{eqnarray*}$

also genau das, was am Ende dann herauskommen soll... geschockt

geschockt

18.04.2011, 10:41

Reksilat

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Wenn Du schon von $\begin{eqnarray*} 1_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1_\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ redest, dann solltest Du nicht noch zusätzlich eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verwenden, zumal das alles die gleichen Elemente sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Argument für $\begin{eqnarray*} \varphi(-1)=-1 \end{eqnarray*}$ ist falsch, da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ keine lineare Abbildung in dem Sinne ist, dass man irgendwelche Skalare "rausziehen" könnte.

Wenn Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=1 \end{eqnarray*}$ ist, kannst Du mal $\begin{eqnarray*} \varphi(1+(-1)) \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedene Arten interpretieren.

Gruß,
Reksilat.

18.04.2011, 12:45

someone[ger]

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Habs jetzt noch anders gemacht.

$\begin{eqnarray*} f(x²) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^4) = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt aber $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f(x) = i \end{eqnarray*}$ folgt jetzt der Widerspruch, denn $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \neq i = f(x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das jetzt immer noch falsch ist, schmeiß ich hin Big Laugh

Big Laugh

18.04.2011, 14:16

Mystic

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Ich denke, das hättest alles viel einfacher haben können, indem du z.B. annimmst, es gäbe einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb C \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann irgendein nichtkonstantes Polynom mit rationalen Koeffizienten nimmst, das garantiert keine reelle Nullstelle hat ( $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ bietet sich da z.B. an!)... Setze dann eine komplexe Nullstelle dieses Polynoms ein und wende auf die entstehende Gleichung den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ an... Voilà, da ist er der Widerspruch, denn plötzlich hätte das gewählte Polynom auch im Reellen eine Nullstelle, entgegen der Voraussetzung... Wink

Wink

18.04.2011, 17:15

someone[ger]

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Zitat:

Original von Mystic
Ich denke, das hättest alles viel einfacher haben können, indem du z.B. annimmst, es gäbe einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb C \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann irgendein nichtkonstantes Polynom mit rationalen Koeffizienten nimmst, das garantiert keine reelle Nullstelle hat ( $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ bietet sich da z.B. an!)... Setze dann eine komplexe Nullstelle dieses Polynoms ein und wende auf die entstehende Gleichung den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ an... Voilà, da ist er der Widerspruch, denn plötzlich hätte das gewählte Polynom auch im Reellen eine Nullstelle, entgegen der Voraussetzung... Wink

Wink

Das klingt tatsächlich einfacher...

Ist denn mein (letzter) geposteter Weg wenigstens "auch richtig" ? smile

smile

18.04.2011, 17:39

Mystic

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Zitat:

Original von someone[ger]
Ist denn mein (letzter) geposteter Weg wenigstens "auch richtig" ? smile

smile

Ich muss gestehen, ich verstehe deinen Weg gar nicht... Z.B. sehe ich nur, dass

$\begin{eqnarray*} f(x^4)=1 \Rightarrow x^4=1 \end{eqnarray*}$

gilt, wegen der Injektivität von f, warum daraus aber dann weiter x=1 folgt, wie du schreibst, sehe ich aber nicht... Diese Gleichung hat ja die reelllen Lösungen $\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ ... Oder habe ich da was übersehen? verwirrt

verwirrt

18.04.2011, 21:42

someone[ger]

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Zitat:

Original von Mystic
Ich muss gestehen, ich verstehe deinen Weg gar nicht... Z.B. sehe ich nur, dass

$\begin{eqnarray*} f(x^4)=1 \Rightarrow x^4=1 \end{eqnarray*}$

gilt, wegen der Injektivität von f, warum daraus aber dann weiter x=1 folgt, wie du schreibst, sehe ich aber nicht... Diese Gleichung hat ja die reelllen Lösungen $\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ ... Oder habe ich da was übersehen? verwirrt

verwirrt

Naja, wenn $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ auf die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, dann muss $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ das Einselement aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein, da die Einselemente nach Voraussetzung ja aufeinander abgebildet werden müssen.

Jetzt hat $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen, das stimmt, das hab ich unterschlagen.

Ändert aber nichts, denn daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Da wir aber am Anfang $\begin{eqnarray*} f(x) = i \end{eqnarray*}$ gefordert haben, ist das auf jeden Fall ein Widerspruch.

So hatte ich mir das gedacht unglücklich

unglücklich

Aber für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ist das gar kein richtiger Widerspruch denke ich mir jetzt.

Komisch, für die Aufgabe gabs nur einen Punkt und ich kriegs nicht auf die Reihe traurig

traurig

18.04.2011, 21:52

Mystic

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Nochmals, die Aufgabe ist ja auch extrem einfach, aber man muss es von der richtigen Seiten her anpacken... Das beginnt schon damit, dass man den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb C \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet und nicht in der Gegenrichtung wie du die ganze Zeit... Damit stellt man sich selbst nur ein Bein... Jetzt wendet man $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ einfach auf

$\begin{eqnarray*} i^2+1=0 \end{eqnarray*}$

an und hat dann in

$\begin{eqnarray*} \phi(i)^2+1=0 \end{eqnarray*}$

sofort einen Widerspruch, denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat ja $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung... Diese simple Überlegung ist wahrlich nicht mehr als einen Punkt wert...

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