irreduzible Polynome [ÜAB]

17.04.2011, 23:34

tigerbine

irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ sein ein Polynom mit Grad 2 oder 3. Zu zeigen: f ist genau dann irreduzibel in K[x], wenn f keine Nullstelle in K hat.

Es ist K[x] ein Ring. Ein Element f des Rings heißt irreduzibel in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn aus $\begin{eqnarray*} f=gh \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} E(K[x]) \end{eqnarray*}$ sind. Dabei ist $\begin{eqnarray*} E(K[x]) = K^* \cdot x^0 \end{eqnarray*}$ , also die Konstanten Polynome.

Über den Ring K[x] ist bekannt dass er (mit der Gradfunktion für Polynome) euklidisch ist. Als solcher ist er auch faktoriell, d.h. jedes Element besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Darstellung als Produkt von irreduziblen Elementen.

Zitat:

Da irreduzibel das Gegenteil von reduzibel ist, würde ich gerne zeigen: f ist genau dann reduzibel über K[x], wenn f mind. eine Nullstelle in K hat.

f ist reduzibel bedeutet es gibt g,h nicht aus E(K[x]) mit f=gh. Mit der Gradfunktion [euklidischer Ring] bedeutet dies 2=N(f)=N(g)+N(h) mit N(g), N(h) >0. Somit muss gelten N(g)=N(h)=1.

Damit folgt $\begin{eqnarray*} g=g_0x^0+g_1x^1 \end{eqnarray*}$ . Und es ist $\begin{eqnarray*} g\Bigl((-g_o)\cdot g_1^{-1} \Bigr) = g_0x^0+g_1\Bigl((-g_o)\cdot g_1^{-1} \Bigr) =0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f\Bigl((-g_o)\cdot g_1^{-1} \Bigr) = g\Bigl((-g_o)\cdot g_1^{-1} \Bigr) \cdot h\Bigl((-g_o)\cdot g_1^{-1} \Bigr))=0 \end{eqnarray*}$ , also besitzt f mindestens eine Nullstelle.

Besitzt f umgekehrt eine Nullstelle k aus K, so existiert nach einem Lemma eine Faktorisierung $\begin{eqnarray*} f=(x-k)\cdot h \end{eqnarray*}$ . Mit obigem Gradargument folgt, dass h nicht aus $\begin{eqnarray*} E(K[x]) \end{eqnarray*}$ stammt, f ist also reduzibel.

Zitat:

Gilt dies auch für Grad 3, 4?

Bei Grad 3 kommt man mit gleicher Idee wieder auf die Existenz eines "Linearfaktors" und damit über K auch zu einer Nullstelle. Im Falle Grad 4 könnte aus reduzibel auch das Zerfallen in 2 Polynome vom Grad 2 folgen. Diese müssen über K aber keine Lösungen haben. Man gibt ein Beispiel an.

Zum Beispiel für K=IR:

$\begin{eqnarray*} f=(x^2+1)^2, g=h=(x^2+1) \end{eqnarray*}$

21.04.2011, 04:14

tigerbine

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]
Meinungen dazu? Erstaunt2

21.04.2011, 08:05

Mystic

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist K[x] ein Ring. Ein Element f des Rings heißt irreduzibel in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn aus $\begin{eqnarray*} f=gh \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} E(K[x]) \end{eqnarray*}$ sind. Dabei ist $\begin{eqnarray*} E(K[x]) = K^* \cdot x^0 \end{eqnarray*}$ , also die Konstanten Polynome.

Ich habe es an anderer Stelle schon gesagt und wiederhole es hier: Wenn du von Poynomen über einem Körper sprichst, dann bitte vergiss diese Defnition von irreduzibel, sie hat schon genug Schaden angerichtet und versperrt wieder einmal total den Blick auf das Wesentliche... Die richtige Definition lautet

Ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ , wobei K ein Körper ist, heißt irreduzibel, wenn es
1. nichtkonstant ist
2. keine Zerlegung f=gh mit Polynomen $\begin{eqnarray*} g,h \in K[x]<br /> \end{eqnarray*}$ besitzt, wobei g und h einen kleineren Grad als f haben...

Einmal (und nur einmal!) solltest du deine alte und allgemeinere Definition für irreduzible Polynome noch einmal hervorholen, bevor du sie dann endgültig einmottest, nämlich um zu zeigen, dass obige für Körper tatsächlich dazu kompatibel ist... Glaub mir, das macht das Leben eines Algebraikers um vieles leichter... Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ sein ein Polynom mit Grad 2 oder 3. Zu zeigen: f ist genau dann irreduzibel in K[x], wenn f keine Nullstelle in K hat.

Und hier haben wir bereits ein wunderschönes Beispiel, wie effizient obige Definition von irreduziblen Pollynomen über Körpern ist:

Die Bedingung 1. ist natürlich für Polynome vom Grad 2 oder 3 trivialerweise erfüllt, d.h., es bleibt nur Bedingung 2 zu überprüfen... Diese wiederum ist aber genau dann erfüllt, wenn das Polynom keine Nullstelle in K hat, denn die Existenz von solchen Nullstellen ist ja allgemein äquivalent zur Existenz von Linearfaktoren über K, d.h., im Falle von Polynome vom Grad 2 oder 3 weiter äquivalent zur Existenz einer nichttrivialen Faktorisierung im Sinne der Bedingung 2... Ja, und das war's auch schon, kurz und schmerzlos... Augenzwinkern

21.04.2011, 14:14

tigerbine

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Ich habe es an anderer Stelle schon gesagt und wiederhole es hier: Wenn du von Poynomen über einem Körper sprichst, dann bitte vergiss diese Defnition von irreduzibel, sie hat schon genug Schaden angerichtet und versperrt wieder einmal total den Blick auf das Wesentliche... Die richtige Definition lautet

Ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ , wobei K ein Körper ist, heißt irreduzibel, wenn es
1. nichtkonstant ist
2. keine Zerlegung f=gh mit Polynomen $\begin{eqnarray*} g,h \in K[x]<br /> \end{eqnarray*}$ besitzt, wobei g und h einen kleineren Grad als f haben...

Einmal (und nur einmal!) solltest du deine alte und allgemeinere Definition für irreduzible Polynome noch einmal hervorholen, bevor du sie dann endgültig einmottest, nämlich um zu zeigen, dass obige für Körper tatsächlich dazu kompatibel ist... Glaub mir, das macht das Leben eines Algebraikers um vieles leichter... Augenzwinkern

Leichter ist immer gut.. Frage mich, warum dies nicht in den Unterlagen auftaucht... verwirrt

21.04.2011, 14:22

Mystic

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Leichter ist immer gut.. Frage mich, warum dies nicht in den Unterlagen auftaucht... verwirrt

Ja, ich denke auch, dasss ein Skriptum oder ein Algebrabuch, wo das nicht in irgendeiner Form erwähnt wird, und sei es nur als Übungsbeispiel, seinen Zweck klar verfehlt hat... geschockt

Aber es ist wohl prinzipiell so, dass man für sich selbst bei jeder Definition die Frage stellen sollte, was bedeutet diese eigentlich für gewisse wichtige Spezialfääle, die immer wieder auftauchen... Und dass der Fall, wo der Koeffizientenring ein Körper ist, wichtig ist, das steht wohl außer Frage... Augenzwinkern

21.04.2011, 14:28

tigerbine

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]
Das der Körper ein wichtiger Spezialfall ist, ist klar. Es sind gerade viele neue Fachwörter [Ringtheorie, Körpertheorie], und über die muss ich erst mal Herrin werden. Oder zumindest vertrauter. Augenzwinkern

Hatte ich den umständlichen Weg auch falsch gemacht?

21.04.2011, 15:09

Mystic

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Das der Körper ein wichtiger Spezialfall ist, ist klar. Es sind gerade viele neue Fachwörter [Ringtheorie, Körpertheorie], und über die muss ich erst mal Herrin werden. Oder zumindest vertrauter. Augenzwinkern

Ja, ich hoffe, dass dir meine teils kritischen Anmerkungen auf dem Weg zu diesem Ziel helfen... Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Hatte ich den umständlichen Weg auch falsch gemacht?

Nein, der ist korrekt und es ist ja auch genau die gleiche Beweisidee, halt nur von dem ganzen Formalismus etwas zugedeckt... Augenzwinkern

21.04.2011, 15:21

tigerbine

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RE: irreduzible Polynome [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Nein, der ist korrekt und es ist ja auch genau die gleiche Beweisidee, halt nur von dem ganzen Formalismus etwas zugedeckt... Augenzwinkern

Da Sommer naht, Zeit die dünneren Decken zu wählen. Und ja, du bist mir da schon eine große Hilfe.

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