ganzzahlige Nullstelle [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
ganzzahlige Nullstelle [ÜAB]
Zitat:
Sei ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 und eine Nullstelle von f. Zu zeigen, r ist eine ganze Zahl und teilt das konstante Glied von f.


Also Recherche hat das "Lemma von Gauß" ins Spiel gebracht. Im Skript ist das so angegeben:

Zitat:
Sind f,g in Z[x] primitiv, so ist auch fg primitiv


Weiß nun nicht, wie mich das weiter bringt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch (ganz primitiv) einfach mal mit einer rationalen Nullstelle an, wobei a und b teilerfremd sind und b > 1 gilt.

Dann ergibt sich mit

, also



Nun eine Reduktion mod b und schon steht der Widerspruch da.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, wir bekommen a, und das steht im Widerspruch zu vollständig gekürzt. Die Nullstelle ist also ganzzahlig. Dann gilt:





Damit folgt .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand noch mal drüber schauen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Passt!

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Merci euch beiden. Wink
Trook Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Ich bin noch nicht ganz so fortgeschritten und muss gerade das selbe Problem lösen.
Kann mir bitte jemmand erklären wie die Einzelschritte hier funktioneren? Besten Dank!



Nun eine Reduktion mod b und schon steht der Widerspruch da.

...

Ah, wir bekommen a, und das steht im Widerspruch zu vollständig gekürzt. Die Nullstelle ist also ganzzahlig. Dann gilt:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung kommt einfach durch Multiplikation mit zustande.

Nun enthalten rechts alle Summanden außer dem ersten mindestens einmal den Faktor , also folgt aus dieser Gleichung , oder mit anderen Worten: muss durch teilbar sein. Im Fall würde dies aber bedeuten, dass jeder Primfaktor von ein Teiler von sein muss, Widerspruch zur Teilerfremdheit von . Also muss gelten.

Damit wissen wir, dass ist, d.h. ganzzahlig. Der Rest ist doch oben klar erklärt:

Zitat:
Original von tigerbine




Damit folgt .



P.S.: Und bitte das nächste mal korrekt zitieren. So wie du es ohne Zitatkennung hingestellt hast, sieht es nach deinen eigenen Überlegungen aus, und dann "scheint ja alles klar zu sein - wozu brauchst du dann noch eine Erklärung?" Augenzwinkern
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